https://www.faz.net/-gwz-14est

Mathematik : Gentzens Sequenzen

  • -Aktualisiert am

Gerhard Gentzen in Prag, kurz vor seiner Verhaftung Bild: Eckart Menzler-Trott

Gerhard Gentzen gilt als größter Beweistheoretiker nach Kurt Gödel. Sein Leben vereint dramatisch die Widersprüche seiner Zeit. Am Dienstag wäre er 100 Jahre alt geworden.

          7 Min.

          Über die Tischtennisplatte gebeugt, die Augen auf den Ball geheftet, der an der Netzkante hängt, die niedergedrückt wird vom Schwung des Schlägers, den der Spieler so entschlossen wie ungeschickt umklammert - so zeigt eines der seltenen Porträts den Mathematiker Gerhard Gentzen. Unter dem Seitenscheitel ist der Ansatz eines Grinsens zu erkennen, als wäre Gentzen unsicher, ob der Ball es über die Kante schafft. In spielerischer Spannung hält der Mathematiker scheinbar verschüchtert inne vor dem nahen Triumph: dem Nachweis, dass die Analysis frei von Widersprüchen ist. Dorthin hat Gentzen den Ball bugsiert. Das Netz gibt nach - doch wird der Ball wieder zurückspringen?

          Als Gerhard Gentzen am 24. November 1909 in Greifswald auf die Welt kam, waren die mengentheoretischen Paradoxien bereits in der Welt und mischten die Mathematikerzunft gehörig auf. Mengen sind eine Art Grundnahrungsmittel der Mathematik: Jedes mathematische Problem ist letztlich ein Problem von Mengen. Und ausgerechnet in diese Mengen hatten sich welche hineingemogelt, die unverdaulich sind, weil sie zu Widersprüchen führen.

          Russells paradoxe Mengen

          Der Zahlenkoloss wankte damals. Mutmaßlich hatte er sich zu große, genauer unendlich große Portionen einverleibt, weshalb manche der Mathematik eine Radikalkur gegen ihre algebraische Adipositas verordnen wollten und verlangten, jedes einzelne Element einer Gesamtheit zu prüfen, bevor sie als Menge durchgehen könne.

          So bringt beispielsweise eine Gesamtheit von Köchen, die all diejenigen bekochen, die nicht für sich selbst kochen, die Mathematiker rasch in Verlegenheit. Spätestens dann, wenn die Köche zu Tisch sitzen: Darf ein solcher Koch nun seine eigene Suppe löffeln oder nicht? Nein, er bekocht ja ausschließlich diejenigen, die nicht selbst am Herd stehen. Was in den eigenen Töpfen schmort, ist für ihn tabu. Doch auch vom Soufflé des Kollegen darf er nicht kosten, denn dann würde er ja nicht für sich selbst kochen - und müsste folglich für sich selbst kochen! Wie auch immer diese Köche sich winden mögen, sie verwickeln sich in Widersprüche. Ihre Schar taugt nicht zur Menge.

          Um solche Mengen scherte sich Gentzens Vater wenig, wohl aber darum, was real im Kochtopf landete. Der Mecklenburger Rechtsanwalt war überzeugter Vegetarier. Selbst in kargen Zeiten verschmähte er tierische Nahrung. Diese Bereitschaft zur letzten Konsequenz vererbte er seinem Sohn. Gerhard Gentzen ging seinen Weg in der Mathematik genauso bedingungslos. Er fand eine Methode, den taumelnden Riesen von den drohenden Widersprüchen zu befreien, ohne ihn bis auf ein unansehnliches Skelett abzumagern.

          Hilberts Programm

          Das war David Hilberts größte Sorge: dass von den Errungenschaften der Analysis nichts mehr übrigbleiben könnte, wenn erst unendlich viele Elemente auf ihre Existenz hin abgeklopft werden müssten. Der Göttinger Mathematiker befürchtete, ein Großteil der Grenzwertbetrachtungen könnte dann nicht mehr haltbar sein. Die Paradoxien der Mengenlehre waren für Hilbert eine Bedrohung der Analysis, vor der es sie zu bewahren galt: mit einem Beweis ihrer Widerspruchsfreiheit.

          Dazu galt es die gesamte Mathematik in ein formales System zu überführen. Nicht nur die schon erbrachten Beweise und Formeln, sondern jede Folgerung, jede Form der Begriffsbildung sollte darin ihren mathematischen Ausdruck finden. Selbst die logischen Grundsätze durften nicht ausgespart bleiben, wenn es darum ging, der Mathematik ein axiomatisches, also unverrückbar formalisiertes Fundament zu legen, das die Widerspruchsfreiheit der daraus sich ergebenden Theoreme verbürgt.

          Gödels Satz

          Eine derartige, von Hilbert angestrebte Formalisierung muss selbstverständlich selber widerspruchsfrei sein; und sie muss vollständig sein, in dem Sinne, dass in dem formalen System alle wahren Aussagen auch bewiesen werden können. Dann ließe sich die Widerspruchsfreiheit widerspruchsfrei beweisen. Doch den Weg dorthin versperrte Kurt Gödel 1931, als er zeigte, dass ein solches System entweder unvollständig oder widersprüchlich ist. Der Rettungsversuch schien im Keim erstickt. Für Gerhard Gentzen allerdings erwuchs daraus die Herausforderung seines Lebens. Er heuerte in Göttingen an und stellte sich dem Unvollständigkeitssatz.

          Dabei war Gödels Satz nicht bloß ein Rückschlag für die Widerspruchsfreiheitsbewegung, er galt als ihr klassischer Knockout. Denn die Behauptung der Widerspruchsfreiheit eines formalen Systems ist, so sie wahr ist, nach ihrer Formalisierung in ebendiesem System nicht beweisbar. Gödel zeigte, dass ein System wie die Arithmetik wahre Aussagen enthält, die nicht beweisbar sind. So ist ,Dieser Satz ist nicht beweisbar' nicht beweisbar, wenn er wahr ist. Ist er dagegen beweisbar, ist er falsch, womit etwas Falsches bewiesen wäre. Der Satz ist also wahr oder das System widersprüchlich. Analog dazu kann es für die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik keinen arithmetischen Beweis geben, sofern die Arithmetik widerspruchsfrei ist.

          Auf Hilberts Spuren

          Dennoch gelang Gentzen 1936 der Beweis, dass die Arithmetik widerspruchsfrei ist - ohne gegen den Unvollständigkeitssatz zu verstoßen und ohne von Hilberts ehernen Prinzipien abzuweichen. Statt an einer unverrückbaren Axiomatik zu basteln, um nötigenfalls die Logik zu korrigieren, untersuchte Gentzen, welche Folgerungen unter welchen Annahmen bei der mathematischen Beweisführung gestattet sind. Und strukturierte die Logik auf diese Weise in einem Regelwerk, dem "Kalkül des natürlichen Schließens". Dies jedenfalls ist das Ergebnis von Gentzens Dissertation. Sein Doktorvater Paul Bernays konnte die Abschlussprüfung allerdings nicht mehr abnehmen. Als Jude wurde er 1933 von seiner Göttinger Professur vertrieben.

          Das hielt Gentzen nicht davon ab, in die NSDAP einzutreten. Im Gegenteil: Mit dem braunen Parteibuch in der Tasche konnte er hoffen, ungestört seiner Mathematik nachgehen zu können. Denn ihm war klar, dass er für den Beweis der Widerspruchsfreiheit der Mathematik seine ganze Kraft benötigen würde. Und mit voller Kraft legte Gentzen los. Zuerst nahm er sich die Arithmetik vor, dann sollte die Analysis folgen, schließlich die Mengenlehre. Mit dem Kalkül des natürlichen Schließens hatte Gentzen ein Instrument geschaffen, mit dem er gegen die Paradoxienplage angehen konnte. Und schon bald gab er für die Arithmetik Entwarnung: Keine Widersprüche weit und breit!

          Schließen in Sequenzen

          Gentzens Ansatz, mit dem er die Unvollständigkeit überlistete, ist so originell wie aktuell. Dem Programm Hilberts folgend, formalisierte er das natürliche Schließen in sogenannten Sequenzen. Eine Sequenz besteht aus Folgen von Aussagen, wobei die nachfolgenden Aussagen sich aus den ihnen vorausgehenden ableiten. Will man herausfinden, ob eine Sequenz wahr ist, verkürzt oder verlängert man sie gemäß den Regeln des Kalküls, bis eine Folge von nacheinander beweisbaren Aussagen dasteht. So gelangt man letztlich zu Formeln, von deren Richtigkeit man sich durch elementares Ausrechnen überzeugen kann.

          Was Gentzen gar nicht überzeugte, war der Krieg. Widerwillig folgte er der Einberufung zur Luftnachrichtentruppe, wo er feindlichen Funkverkehr abhören musste. Den Kopfhörer auf den Ohren, saß er Schicht für Schicht in einem engen Bunker. Die verbrauchte Luft, das Knacken der Morsesignale, das Flimmern der Leuchtstofflampen und vor allem die Angst, sich nicht mehr kreativ mit der Mathematik beschäftigen zu können, zerrten an seinen Nerven. Die hielten zwei Jahre durch, dann war Schluss. Gentzen erkrankte und wurde entlassen. Von der Nervenerkrankung sollte er sich zeitlebens nicht mehr erholen. Forthin kroch die Zunge dem Denken hinterher: Seine Vorträge konnte Gentzen nur mehr schleppend halten.

          Das Prinzip des Abzählens

          Dabei war der Mathematiker ein gefragter Referent. Immer wieder sollte er vortragen, wie er in seinem Beweis von der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik dem Los der Unvollständigkeit entronnen war. Die Grundidee ist einfach: Wenn die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht mit den Mitteln der Arithmetik beweisbar ist, dann nehme man einfach weitere Mittel hinzu - und zwar solche, die dem natürlichen Schließen entsprechen. Diese Schlussweisen übersteigen zwar die Arithmetik, insofern sie in ihr nicht formalisiert werden können, sind ihr aber nicht fremd, weil sie eine arithmetische Schlussweise fortsetzen: die des Abzählens. Egal wie weit man zählt, die abgezählte Zahl ist sehr viel kleiner als eine unendlich große Zahl, zu der aber auch wieder eins hinzugezählt werden kann, und dann noch mal eins und so weiter. Der Schluss von da aus auf eine arithmetische Fortsetzung von Zahlen, die die Arithmetik sprengen, erlaubt am Ende den Beweis von Aussagen, die unendlich viele Aussagen voraussetzen - und damit den Beweis aller wahren Sätze der Arithmetik.

          Gentzen war zuversichtlich, mit einer ähnlichen Methode beweisen zu können, dass auch die Analysis widerspruchsfrei ist. Damit befassen konnte er sich aber kaum. Zwar war er seit seiner Erkrankung Dozent an der Prager Universität, doch musste er dort in erster Linie die Flugbahn von Geschossen berechnen und steuerungstechnische Probleme lösen. Nebenher unterrichtete Gentzen die wenigen Studenten, die noch keinen Stahlhelm verpasst bekommen hatten. Er hielt gerade eine Vorlesung über formale Logik, als ihn tschechische Aufständische im Mai 1945 verhafteten. Trotz Anratens zur Flucht war er in Prag geblieben.

          Tod im Lager

          Der Beweis der Widerspruchsfreiheit der Analysis geriet zum Wettlauf mit der Zeit. Als Gefangener erhielt Gentzen nur zu essen, wenn er schwere körperliche Arbeit verrichtete, etwa beim Beseitigen von Barrikaden. Als die Straßen schon geräumt waren und nur noch Pflastersteine auf einen Laster geladen werden mussten, verkürzte eine Verwechslung die Gentzen verbleibende Zeit erheblich. Er war gerade dabei, einen Stein loszurütteln, da schrie plötzlich eine Frau, zeigte wild gestikulierend auf Gentzen, der mit wirrem Haar und Vollbart sich nicht einmal selbst im Spiegel erkannt hätte, und schleuderte einen Pflasterstein nach ihm. Der Stein traf Gentzens Hand und zerquetschte ihm zwei Finger.

          Arbeit, die Gentzen gegen Brot und Wasser hätte erledigen können, gab es von nun an kaum noch. Er magerte ab bis auf die Knochen. Vom Hunger getrieben, meldete er sich schließlich zum Teppichklopfen, brach aber unter der Last des nassen Knüpfwerks zusammen; statt Nahrung bekam er Prügel. Gentzen war nun gänzlich arbeitsunfähig. Allein die Arbeit am Widerspruchsfreiheitsbeweis hielt ihn am Leben. Auf die Holzpritsche gekauert, ging er in Gedanken Ansatz für Ansatz durch und berichtete den Zellengenossen von seinen Fortschritten - für die meisten eine willkommene Ablenkung von der täglichen Not. Doch Gentzens Kräfte schwanden. Am 4. August 1945 raffte er sich noch zum Morgenappell auf. Anschließend war er zu schwach, um die Beine auf die Pritsche zu heben. Dann war er tot.

          Sequenzen im Computer

          Überlebt hat sein Kalkül. Von Gentzens Sequenzen machen die Informatiker heute regen Gebrauch. An der Tafel mag ein Beweis, niedergeschrieben in einer einzigen Sequenz, unanschaulich sein, im Rechner aber verschwinden die Zahlenkolonnen. Dass die Sequenz sehr lang sein kann, ist einem modernen Computer egal. Vielmehr hat eine Sequenz den Vorteil, dass zu einem vollständigen Beweis nicht erst alle Voraussetzungen zusammengeklaubt werden müssen: In einer Sequenz steckt alles drin. Sogenannte Verifizierungsprogramme beweisen mit Hilfe von Sequenzen, dass eine Software keine Fehler macht, indem sie die von der Software erzeugten Sequenzen nach vorgegebenen Regeln verlängern oder verkürzen, bis eine einfache Ja/Nein-Entscheidung möglich ist.

          Gentzens eigentliches Ziel, die Widerspruchsfreiheit der Analysis zu beweisen, hat bis heute niemand erreicht, trotz weiterer Anläufe in den 1950er Jahren. Die meisten Mathematiker glauben aber, dass es um die Analysis bestens steht, solange niemand einen Widerspruch nachweist. Es gibt eben noch schlimmere Bedrohungen für die Mathematik als mengentheoretische Paradoxien. Gentzens Leben ist ein Beispiel dafür.

          Weitere Themen

          Ein Juror muss den Fremden spielen

          Soziologie der Preisverleihung : Ein Juror muss den Fremden spielen

          Wenn in zwei Wochen die Oscars verliehen werden, wird man wieder erleben, dass nicht immer die Besten gewinnen. Doch Ehrungen in Wettbewerben sind objektiv – wenn auch anders, als die Geehrten vielleicht gerne glauben.

          Topmeldungen

          Blaulichtfahrten seien das Privileg des Politikers, hat Markus Söder sinngemäß einmal gesagt.

          Kanzlerkandidatur : Die Wette auf Söder

          Der bayerische Ministerpräsident hat die CSU fest im Griff, deshalb redet keiner öffentlich über die K-Frage. Aber viele glauben, dass es ihren Vorsitzenden nach Berlin zieht.
          Große Emotionen: Ansgar Knauff (rechts) und der heranstürmende Erling Haaland

          Später BVB-Sieg in Stuttgart : Sogar Haaland geht auf die Knie

          Weil der 19 Jahre junge Ansgar Knauff kurz vor Spielende alle Gegenspieler stehen lässt, gewinnt Dortmund nach einer turbulenten Partie doch noch beim VfB. Offensiv-Star Erling Haaland ist prompt zur Stelle.

          Newsletter

          Immer auf dem Laufenden Sie haben Post! Abonnieren Sie unsere FAZ.NET-Newsletter und wir liefern die wichtigsten Nachrichten direkt in Ihre Mailbox. Es ist ein Fehler aufgetreten. Bitte versuchen Sie es erneut.
          Vielen Dank für Ihr Interesse an den F.A.Z.-Newslettern. Sie erhalten in wenigen Minuten eine E-Mail, um Ihre Newsletterbestellung zu bestätigen.