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Mathematik : Gentzens Sequenzen

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Schließen in Sequenzen

Gentzens Ansatz, mit dem er die Unvollständigkeit überlistete, ist so originell wie aktuell. Dem Programm Hilberts folgend, formalisierte er das natürliche Schließen in sogenannten Sequenzen. Eine Sequenz besteht aus Folgen von Aussagen, wobei die nachfolgenden Aussagen sich aus den ihnen vorausgehenden ableiten. Will man herausfinden, ob eine Sequenz wahr ist, verkürzt oder verlängert man sie gemäß den Regeln des Kalküls, bis eine Folge von nacheinander beweisbaren Aussagen dasteht. So gelangt man letztlich zu Formeln, von deren Richtigkeit man sich durch elementares Ausrechnen überzeugen kann.

Was Gentzen gar nicht überzeugte, war der Krieg. Widerwillig folgte er der Einberufung zur Luftnachrichtentruppe, wo er feindlichen Funkverkehr abhören musste. Den Kopfhörer auf den Ohren, saß er Schicht für Schicht in einem engen Bunker. Die verbrauchte Luft, das Knacken der Morsesignale, das Flimmern der Leuchtstofflampen und vor allem die Angst, sich nicht mehr kreativ mit der Mathematik beschäftigen zu können, zerrten an seinen Nerven. Die hielten zwei Jahre durch, dann war Schluss. Gentzen erkrankte und wurde entlassen. Von der Nervenerkrankung sollte er sich zeitlebens nicht mehr erholen. Forthin kroch die Zunge dem Denken hinterher: Seine Vorträge konnte Gentzen nur mehr schleppend halten.

Das Prinzip des Abzählens

Dabei war der Mathematiker ein gefragter Referent. Immer wieder sollte er vortragen, wie er in seinem Beweis von der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik dem Los der Unvollständigkeit entronnen war. Die Grundidee ist einfach: Wenn die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht mit den Mitteln der Arithmetik beweisbar ist, dann nehme man einfach weitere Mittel hinzu - und zwar solche, die dem natürlichen Schließen entsprechen. Diese Schlussweisen übersteigen zwar die Arithmetik, insofern sie in ihr nicht formalisiert werden können, sind ihr aber nicht fremd, weil sie eine arithmetische Schlussweise fortsetzen: die des Abzählens. Egal wie weit man zählt, die abgezählte Zahl ist sehr viel kleiner als eine unendlich große Zahl, zu der aber auch wieder eins hinzugezählt werden kann, und dann noch mal eins und so weiter. Der Schluss von da aus auf eine arithmetische Fortsetzung von Zahlen, die die Arithmetik sprengen, erlaubt am Ende den Beweis von Aussagen, die unendlich viele Aussagen voraussetzen - und damit den Beweis aller wahren Sätze der Arithmetik.

Gentzen war zuversichtlich, mit einer ähnlichen Methode beweisen zu können, dass auch die Analysis widerspruchsfrei ist. Damit befassen konnte er sich aber kaum. Zwar war er seit seiner Erkrankung Dozent an der Prager Universität, doch musste er dort in erster Linie die Flugbahn von Geschossen berechnen und steuerungstechnische Probleme lösen. Nebenher unterrichtete Gentzen die wenigen Studenten, die noch keinen Stahlhelm verpasst bekommen hatten. Er hielt gerade eine Vorlesung über formale Logik, als ihn tschechische Aufständische im Mai 1945 verhafteten. Trotz Anratens zur Flucht war er in Prag geblieben.

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