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Kurt Gödel : Der Herr Professor und die Wahrheit

Gilt das auch für die Frage nach der Wahrheit? Sicher ist der logische Positivismus nicht nur an Gödel gescheitert. Umgekehrt braucht man ihn auch nicht unbedingt, um antimetaphysische Weltanschauungen anzuzweifeln. Auch zeigen die Unvollständigkeitssätze als solche keineswegs, daß es absolut unbeweisbare mathematische Wahrheiten gibt. Die Eigenschaft der Unvollständigkeit bezieht sich ja immer auf eine mathematische Theorie mit ihrem jeweiligen Axiomensystem.

Platon und die Mathematiker

Allerdings war Gödel selber spätestens seit 1940 erklärter Platonist und als solcher entschieden der Meinung, seine Entdeckung sei unvereinbar mit dem sogenannten Formalismus, also der Idee, mathematische Strukturen seien nur etwas, das Menschen sich ausdenken - und sei es dadurch, daß sie Axiomensysteme ersinnen. Denn was zeigt die Unvollständigkeit der Axiomensysteme anderes, als daß sich mit ihnen die Welt mathematischer Wahrheiten nicht ausschöpfen läßt?

Wer recht hat, die Platonisten oder die Formalisten, ist bis heute umstritten. Interessant ist, daß es in dieser Frage offenbar einen Graben zwischen Mathematikern und Mathematikphilosophen gibt. „Ich vermute, unter den Mathematikphilosophen gibt es nur wenige Platonisten“, sagt Solomon Feferman. Anderes hat Paul Cohen beobachtet, der 1963 den Beweis für die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von den Standard-Axiomen der Mengenlehre vollendete und der sich selber als gemäßigten Formalisten sieht. „Bei einer Podiumsdiskussion im vergangenen Jahr ergab eine Umfrage, daß die meisten Mathematiker den Platonismus vertreten“, sagt Cohen. „Aber ich würde sagen, Gödels Arbeit von 1931 beantwortet die Frage nicht, sondern zeigt uns eher die Schwierigkeiten, sie zu beantworten.“

Gödel selber dachte da, wie gesagt, anders. In seinen späteren Jahren hat er sich selber intensiv mit philosophischen Fragen befaßt, aber nur wenig darüber veröffentlicht. In seinem Nachlaß fand sich auch eine formalisierte Version des sogenannten ontologischen Gottesbeweises. Es ist ein altes Argument platonistischer Denktradition, das aus der Möglichkeit der Existenz Gottes seine Wahrheit ableitet. Wenn man nur wüßte, was Wahrheit ist.

Kleines Gödel-Glossar

Arithmetik heißt die Theorie der ganzen Zahlen (... -1,0,1,2, ...) oder auch die der natürlichen Zahlen (1,2,3, ...).

Axiome sind unbewiesene, aber für wahr gehaltene Sätze. Ein Axiomensystem ist eine Anzahl von Axiomen, die zusammen
mit allen daraus ableitbaren Sätzen eine Theorie (auch System genannt) bilden.

Beweisen heißt zu zeigen, wie ein Satz aus einem Axiomensystem mit den gültigen Rechenregeln folgt.

Formel heißt ein mathematischer Satz (im Unterschied zu einem meta-mathematischen).

Meta-mathematisch heißen Sätze, die Sätze einer Theorie zum Gegenstand haben.

Satz (auch Aussage genannt) heißt eine Folge von Symbolen, die aufgrund ihrer
Struktur wahr oder falsch sein kann. „1 + 1 = 2“ und „1 + 1 = 3“ sind beides Sätze,
„ 2 + =“ ist keiner.

Unentscheidbar ist ein Satz, der sich weder beweisen noch widerlegen läßt.

Unvollständig heißt ein System, in dem sich nicht alle wahren Sätze beweisen lassen.

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