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Kurt Gödel : Der Herr Professor und die Wahrheit

Durchnummerieren mit Hintersinn

Es ist äußerst kurios, daß es überhaupt möglich ist, so etwas rein innermathematisch zu beweisen. Denn „beweisbar“ oder „widerspruchsfrei“ sind keine mathematischen Begriffe (wie „gerade“ oder „prim“), sondern meta-mathematische. Es sind keine Aussagen einer mathematischen Theorie, sondern Aussagen über Aussagen solcher Theorien, also etwa über Formeln wie „3+2=5“, die selber zunächst mal nichts sind als aneinandergereihte Symbole. Gödel gelang es aber, allen gültigen Symbolfolgen der Arithmetik Zahlen zuzuordnen, heute Gödel-Nummern genannt, - und zwar so, daß sich die meta-mathematischen Eigenschaften der entsprechenden Symbolfolgen eindeutig in den arithmetischen Eigenschaften ihrer Nummern spiegeln. Somit lassen sich auch meta-mathematische Aussagen, also etwa „Satz B folgt aus Satz A“, in arithmetische Formeln wie „Zahl a ist ein Vielfaches der Zahl b“ verwandeln, so daß Symbolfolgen wahrer Sätze immer Gödel-Nummern wahrer arithmetischer Formeln entsprechen.

Damit war Gödel etwas Verblüffendes möglich: Er konstruierte eine arithmetische Formel mit einer Gödel-Nummer N, welche, rückübersetzt in eine Symbolfolge, lautet: „Die arithmetische Formel mit der Nummer N ist unbeweisbar.“ Das sieht aus wie eine Paradoxie nach Art des lügenden Kreters - es ist aber keine, denn die Formel ist ja nicht identisch mit der Symbolfolge, sondern repräsentiert sie nur auf der Ebene der Arithmetik. Auf dieser Ebene stellt sie aber ihre eigene Unbeweisbarkeit sicher. Denn sie ist dann und nur dann wahr, wenn sie unbeweisbar ist (die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik vorausgesetzt). Dann aber garantiert die Konstruktion der Gödel-Numerierung, daß auch die Zeichenkette eine wahre Aussage bildet - obgleich diese selber nicht bewiesen wurde.

Man sieht: Die Gödelsche Unvollständigkeit ist nichts Geheimnisvolles, sondern die Folge des Umstandes, daß in Systemen, die komplex genug sind, um sich selbst zu beschreiben, die Grenzen dieser Beschreibung spürbar werden. Natürlich könnte man die Grenze gewissermaßen eingemeinden, indem man einen unentscheidbaren, also weder beweisbaren noch widerlegbaren Satz kurzerhand dem Axiomensystem hinzufügt. Doch alles, was man sich damit - neben einer Verkomplizierung der Theorie - einhandelte, wären neue unentscheidbare Sätze. Die Grenzen, die Gödel aufzeigte, lassen sich zwar verschieben, aber nie beseitigen.

Das Beispiel Kontinuumshypothese

Da stellt sich natürlich die Frage, wie eng diese Grenzen sind. Wie häufig bekommen die Mathematiker es mit solchen unentscheidbaren Aussagen zu tun?

Im Prinzip könnten unter den berühmten noch unbewiesenen mathematischen Vermutungen auch solche sein, die sich im Rahmen des heute üblichen Axiomensystems gar nicht beweisen lassen - obwohl sie vielleicht wahr sind. Unter den Aussagen, bei denen das erwiesenermaßen der Fall ist, dürfte die sogenannte Kontinuumshypothese die interessanteste sein. Aber solche Exemplare sind selten. Gödel selbst schätzte 1951 in einem Vortrag, daß 99,9 Prozent der Mathematik aus den Standard-Axiomen folgen. Soweit man weiß, gehören dazu auch sämtliche Theoreme, die irgendeine praktische Relevanz haben, etwa in der Physik. Praktisch ist das Scheitern des Hilbert-Programms daher ohne jede Folge geblieben.

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