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Kurt Gödel : Der Herr Professor und die Wahrheit

Während es Hilbert vor allem darum ging, die Mathematik vor Widersprüchlichkeiten zu bewahren, paßte sein Programm doch auch trefflich zum damaligen philosophischen Zeitgeist, namentlich zum sogenannten logischen Positivismus. Dieser hatte sich unter dem Eindruck der naturwissenschaftlichen Fortschritte vorgenommen, die Wissenschaft von metaphysischen Sätzen zu reinigen, also von allen Sätzen über Dinge, die nicht unmittelbar Gegenstand der Sinneserfahrung sind. Aussagen dieser Art - von solchen über Gott bis hin zu ethischen Urteilen - müßte demnach die Eigenschaft, wahr sein zu können, abgesprochen werden. Die logischen Positivisten nannten sie „sinnlos“. Sinnvoll war für sie nur, was sich auf Sinneserfahrung bezieht oder mittels der als reine Tautologien aufgefaßten Gesetze der Logik daraus ableiten läßt.

Ein Platonist ramponiert das Programm des Positivismus

Die Mathematik war da für die logischen Positivisten ein Problem. Einerseits ist die von ihnen vergötterte Physik bis ins Mark mathematisiert. Andererseits ging es bei ihr ja um alles andere als um Gegenstände der Sinneserfahrung. Daher versuchte man, in den Sätzen der Mathematik etwas Ähnliches zu sehen wie in jenen der Logik: Tautologien, die nur die Aussagen der Axiome umformen, aber für sich nichts bedeuten. Es könne daher keine mathematischen Wahrheiten geben, die nicht schon in den Axiomen und Rechenregeln angelegt seien, welche selber als bloße Definitionen aufzufassen seien. Mathematik sei demnach reine Syntax. Für den logischen Positivismus war die Durchführbarkeit des Hilbert-Programms damit ausgemachte Sache.

Insofern legte sich der führende Positivistenzirkel, der sogenannte Wiener Kreis, eine Natter an den Busen, als er den begabten Studenten Kurt Gödel zu seinen Sitzungen einlud. Nun ist nicht ganz klar, wie Gödel während seiner Jahre im Wiener Kreis (1926 bis 1928) über den Positivismus dachte - der verschlossene Mann beteiligte sich kaum an den Debatten. Die amerikanische Philosophin Rebecca Goldstein schreibt in ihrem soeben auf deutsch erschienenen Buch, Gödel sei damals schon das genaue Gegenteil eines Positivisten gewesen - nämlich ein Platonist, also jemand, der in einer mathematischen Struktur etwas objektiv Existierendes sieht, das von den Mathematikern nicht definiert oder konstruiert, sondern entdeckt wird. „Ich teilte niemals die Meinung, die Mathematik sei eine Syntax der Sprache“, sagte Gödel später, „diese Ansicht kann vielmehr mit meinen Ergebnissen widerlegt werden.“

Dennoch waren die Unvollständigkeitssätze keine beabsichtigte Sabotage des Positivismus. „Was immer Gödels philosophische Ansichten zu dieser Zeit gewesen sein mögen“, sagt der Mathematikphilosoph Solomon Feferman von der Stanford University, „die Motive für seine Arbeit hatten nichts damit zu tun, daß er den logischen Positivismus unterminieren wollte.“ Tatsächlich hatte Gödel 1929 in seiner Doktorarbeit das Hilbert-Programm sogar ein Stück weit vorangetrieben, als er dessen Gültigkeit für die sogenannten Prädikatenlogik erster Ordnung bewies - eine Logik, die schwächer ist als jene, die in der der Arithmetik zum tragen kommt, da in ihr das Axiom der vollständigen Induktion unzulässig ist. Erst als er sich an den nächsten Schritt des Hilbert-Programmes wagte, erkannte er, daß die Arithmetik unvollständig war, also die Formulierung von wahren Aussagen erlaubt, die nicht aus den Axiomen folgen.

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