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Kurt Gödel : Der Herr Professor und die Wahrheit

Kurt Gödel, 1906 bis 1978 Bild: F.A.Z.-Isabell Klett

Vor 100 Jahren wurde einer der größten Logiker aller Zeiten geboren. Sein Werk erschütterte die Fundamente der Mathematik. Über die Folgen streiten die Gelehrten noch heute.

          7 Min.

          Was ist Wahrheit? Die Frage, mit der sich Pontius Pilatus einst aus der Affäre zog, als er Jesus verhörte (Joh. 18,38), steht noch immer im Raum. Dabei gehen die meisten Menschen - Kriminalbeamte, Journalisten, Wissenschaftler - selbstverständlich davon aus, daß es eine Wahrheit gibt, die es nur herauszufinden gilt. Dummerweise kann man sich dabei irren: Indizien können trügen, Informanten lügen - was läßt sich da schon mit letzter Sicherheit beweisen? Trotzdem, in der Pilatus-Pose erscheint man nur auf den ersten Blick weiser als der Rest der Menschheit. Wer wirklich bezweifelt, daß man Wahrheiten erkennen kann, der muß auch diesen Zweifel bezweifeln.

          Ulf von Rauchhaupt

          Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.

          Nun gibt es eine Wissenschaft, in der es unanfechtbare Beweise tatsächlich gibt. Ist in der Mathematik ein Satz bewiesen, dann ist daran grundsätzlich nichts mehr zu deuteln, dann ist der Satz wahr. Der Grund scheint klar: Mathematische Systeme wie die Arithmetik oder die Geometrie sind deduktiv. Eine ihrer Aussagen zu beweisen bedeutet, sie mittels der zulässigen Rechenregeln auf einige wenige, sofort einleuchtende Axiome zurückzuführen. Damit scheint die Frage für die Mathematik beantwortet: Wahrheit ist Beweisbarkeit.

          Doch im Jahre 1931 veröffentlichte der österreichische Logiker Kurt Gödel einen Aufsatz, in dem er zeigte, daß dies nicht stimmt. Er bewies, daß sich in einem widerspruchsfreien mathematischen System, das mindestens die Arithmetik umfaßt, Sätze formulieren lassen, die nicht aus den Axiomen ableitbar, aber trotzdem wahr sind. Diese Aussage ist der erste sogenannte „Unvollständigkeitssatz“. Aus ihm folgt ein zweiter: Es ist nicht möglich, innerhalb einer mathematischen Theorie zu beweisen, daß bei Ableitungen aus ihren Axiomen nie Widersprüche auftreten werden. Und dies gilt nicht erst in irgendwelchen arkanen Formalismen, sondern schon im Fall der Arithmetik, der ganz normalen Schulmathematik.

          Anfang mit Hilbert

          Gödels Resultat war - und ist noch heute - eine Ungeheuerlichkeit. Tatsächlich begriffen auch viele Experten nicht sofort, was ihr junger Kollege da angerichtet hatte: Jahrzehntelange Bemühungen, wenigstens die Mathematik auf ein unangreifbares erkenntnistheoretisches Fundament zu stellen, erwiesen sich damit als vergeblich. Auch der damalige Mathematiker-Papst David Hilbert tat sich ausgesprochen schwer, Gödels Unvollständigkeitssätze zu akzeptieren.

          Dabei hatte mit Hilbert alles angefangen. Seit dem Beginn des Jahrhunderts war er nicht müde geworden, die umfassende Axiomatisierung der Mathematik zu fordern. Die gesamte Wissenschaft der Zahlen und all der anderen abstrakten Objekte sollte aus einem System endlich vieler Axiome ableitbar sein, dessen Widerspruchsfreiheit es zu beweisen galt. Hinter diesem „Hilbert-Programm“ steckte ein altes Problem: Schon in der Antike kursierte die Anekdote von dem Kreter Epimenides, der behauptet, daß alle Kreter lügen. Offenbar ist es möglich, daß zwei an sich unschuldige Sätze (“Epimenides ist ein Kreter“ und „Epimenides sagt, alle Kreter lügen“) zusammengenommen ein Paradox ergeben: einen sich selbst widersprechenden Satz. Als nun um 1900 klar wurde, daß dergleichen nicht nur in der ja nie ganz eindeutigen Alltagssprache auftreten kann, sondern auch in abstrakten Formalismen, war die Sorge groß. Immerhin bedienten sich Physik und Ingenieurswissenschaften in immer größerem Ausmaß mathematischer Verfahren. Was, wenn sich solche Paradoxa an entscheidenden Stellen in das mathematische Lehrgebäude einschlichen?

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