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Faltungslehre : Kalligraphie mit Metallschlaufen

  • -Aktualisiert am

Stahldraht in einem flachen Zylinder Bild: Physical Review Letters

Dünne Drähte wickeln sich bei Raumnot zu höchst komplexen Knäueln auf. Diese zeigen selbstähnliche Strukturen und tragen damit ihr eigenes Abbild in sich. Was wie Spielerei anmutet, könnte die Faltungsvorgänge von Biomolekülen erklären helfen.

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          Viele Objekte, die einem großen Druck ausgesetzt sind, versuchen diesem auszuweichen und falten sich dabei oft zu überraschend komplizierten Mustern. Das kann man bei der Entstehung von Gebirgen ebenso feststellen wie beim Zusammenknüllen von Kunststofffolien. Auch Drähte, deren Enden zusammengeschoben werden, bilden höchst komplexe und bisweilen kalligraphisch anmutende Schlaufenmuster, wie Wissenschaftler in der Schweiz und in Brasilien herausgefunden haben.

          Die Forscher um Hans Jürgen Herrmann von der ETH Zürich haben etwa einen Millimeter dicke Drähte aus unterschiedlichen Materialien in das Innere eines äußerst flachen Hohlzylinders geschoben. Dieser wies einen Durchmesser von zwanzig Zentimetern auf, war aber so hoch wie ein Drahtdurchmesser, so dass nur eine Drahtlage hineinpasste. Jeder Draht wurde seitlich durch zwei gegenüberliegende Löcher in der Zylinderwand gefädelt, und die Drahtenden wurden von zwei gegenläufigen Antriebswalzen mit großer Kraft in den Zylinder hineingedrückt. Im Zylinder faltete sich der Draht und wickelte sich zu einem komplizierten Knäuel auf, bis er sich völlig verkeilt hatte. Die Forscher haben drei verschiedene Typen von Drahtknäueln beobachtet, die sich in der Dichte, in der Zahl und in der Größe der Schlaufen unterschieden ("Physical Review Letters", Bd. 101, Nr. 094101).

          Auf die Reibung kommt es an

          Stahldraht, der sich nur schwer deformieren ließ, wedelte beim Auffalten im Zylinder hin und her. Dabei entstand ein geordnetes und nahezu symmetrisches Muster von ineinandergedrückten Schlaufen, die den Zylinder gleichmäßig ausfüllten. Die Größe der Schlaufen nahm zu den Eintrittsöffnungen hin rasch ab. Computersimulationen dieser Vorgänge zeigten, dass solch ein symmetrisches Muster für schwer verformbare Drähte typisch war, die große Reibungskräfte verspürten, wenn sie über die kreisförmigen Zylinderinnenflächen glitten.

          Wird der Stahldraht mit Öl eingerieben, sieht das Muster gleich ganz anders aus.
          Wird der Stahldraht mit Öl eingerieben, sieht das Muster gleich ganz anders aus. : Bild: Physical review Letters

          Als man die Reibung zwischen Stahldraht und Zylinder durch Silikonöl verringerte, wickelte sich der Draht in einem Spiralmuster auf, das den Zylinder vom Rand her ausfüllte und aus nur wenigen Windungen bestand. Ein Draht aus weichem Lötzinn, der sich leicht verformen ließ, zeigte ein ganz anderes Verhalten. Er wickelte sich in komplizierten und unregelmäßigen Schlaufenmustern auf. Es zeigte sich, dass ein ungeordnetes Knäuel aus Lötzinndraht mehr Schlaufen enthielt als ein geordnetes Knäuel aus einem gleich langen Stahldraht.

          Aus wie vielen Schlaufen die beobachteten Drahtknäuel bestanden, hing außer von der Elastizität der Materialien und den wirkenden Reibungskräften auch von der Länge der aufgewickelten Drähte ab. Dabei nahm die Zahl der Schlaufen nicht linear mit der Drahtlänge zu, wie es für ein Knäuel der Fall wäre, dessen Schlaufen alle ungefähr die gleiche Größe haben. Die Forscher beobachteten, dass die Anzahl der Schlaufen tatsächlich viel schneller wuchs. Das lag daran, dass mit zunehmender Drahtlänge immer kleinere Schlaufen entstanden. Die Knäuel hatten die Form von Fraktalen, von selbstähnlichen Strukturen also, die ihr eigenes Abbild vielfach in sich selbst tragen. Fraktale Muster findet man auch in der Natur - etwa bei zerklüfteten Küstenlinien oder dem Delta einer Flussmündung.

          Fraktale Knäuel

          Das Verhalten von Drahtknäueln, die in einem dreidimensionalen Raum eingeschlossen waren, haben Forscher von der Universidade Federal de Pernambuco in Brasilien untersucht. Dazu haben Marcelo Gomes und seine Kollegen Drähte aus einer elastischen Zinn-Blei-Legierung in Hohlkugeln mit Durchmessern von 18 bis 150 Millimetern geschoben. Die sich bildenden Knäuel füllten das zur Verfügung stehende Volumen nicht so dicht aus wie die Knäuel, die die Schweizer Forscher beobachtet hatten, sie waren aber dichter gepackt als in einem geordneten Drahtgeflecht ("Journal of the Brazilian Chemical Society", Bd. 19, S. 293). Detaillierte Untersuchungen zeigten, dass diese Knäuel ebenfalls eine für Fraktale typische Selbstähnlichkeit aufwiesen. Ihre fraktale Dimension betrug 2,7 und lag damit zwischen der räumlichen Dimension einer Fläche (Dimension 2) und der eines ausgedehnten Körpers (Dimension 3).

          Entsprechende Versuche mit einem flachen Zylindergefäß lieferten ähnliche Ergebnisse, nur dass die fraktale Dimension des darin eingeschlossenen Drahtknäuels den Wert 1,8 hatte und somit zwischen der Dimension einer Linie und einer Fläche angesiedelt war. Inwieweit in der Kugel die Form und Dichte der Knäuel von der Flexibilität des verwendeten Drahtes abhängt, muss noch untersucht werden.

          Die Forschungen der Schweizer und brasilianischen Wissenschaftler muten auf den ersten Blick wie Spielerei an. Tatsächlich könnten die Ergebnisse helfen, die Faltungsvorgänge von Strängen des Erbmoleküls besser verstehen zu lernen. Auch dieses fadenförmige Biomolekül ist im Innern von Viren oder im Zellkern auf engsten Raum zu kompakten Knäueln aufgewickelt. Ob es dabei ebenfalls fraktale Struktur besitzt, ist allerdings noch unklar.

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