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Euklids Parallelenaxiom : Treffen sich zwei Geraden im Unendlichen

Bild: Courtesy TASCHEN

Zwei Jahrtausende mühte man sich um den Nachweis, dass Euklids Parallelenaxiom ein verkapptes Theorem sei, das sich aus den anderen Axiomen ableiten lasse. Und dann fand man die nicht-euklidischen Geometrien.

          "Der vierte Lehrsatz ist ein Gewebe aus Unsinn." Mit solchen Sätzen versuchte der Mathematiker Bertrand Russell 1902 Euklids "Elementen" den Rang eines Meisterwerkes der Logik abzusprechen. Andere haben diese Einlassungen dahingehend kommentiert, dass Russell Euklid hier vor allem vorwerfe, zu wenig Russell gelesen zu haben.

          Ulf von Rauchhaupt

          Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.

          Nun ist Euklids geometrisches Theoriegebäude tatsächlich nicht ganz perfekt. So benutzt er an manchen Stellen stillschweigend Sachverhalte, die er eigentlich hätte beweisen oder als Axiome explizit machen müssen. Beispielsweise setzt er in der Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks einfach voraus, dass Kreise Schnittpunkte bilden können.

          Doch erst im späten 19. Jahrhundert wurden Axiomensysteme entwickelt, die solche Lücken schlossen. Das einflussreichste legte 1899 David Hilbert vor. Während sich bei Euklid (in der Edition des dänischen Philologen Johan Ludvig Heiberg) 14 Axiome und Postulate finden, braucht Hilbert 20 Axiome. Daraus können sämtliche Sätze für die drei Sorten von Objekten abgeleitet werden, die wir üblicherweise mit den Begriffen Punkt, Gerade und Ebene verbinden.

          Treffpunkt im Unendlichen

          Diese Geometrie heißt heute "euklidisch", um auszudrücken, dass es noch andere Geometrien gibt. Sie unterscheiden sich vor allem im "Parallelenaxiom", das auch "Parallelenpostulat" heißt, weil es in manchen Textfassungen der "Elemente" (etwa der Heibergs) als Postulat aufgelistet ist. Seine Formulierung ist ungleich länger als die der übrigen Axiome und Postulate und wird mitunter zu "zwei Parallelen treffen sich erst im Unendlichen" verkürzt. Ohne Bezug auf den von machen Philosophen ungeliebten Begriff des Unendlichen, lässt es sich aber auch folgendermaßen knapper fassen: "Durch einen außerhalb einer Geraden liegenden Punkt kann man in der so gegebenen Ebene durch den Punkt nur eine einzige Parallele zu der Geraden ziehen."

          Nun klingt auch das längst nicht so selbstevident, wie man es von einem Axiom eigentlich erwartet. Es erinnert eher an ein Theorem, das sich aus den anderen Axiomen und Postulaten herleiten lassen müsste.

          Tatsächlich wurde genau das zwei Jahrtausende hindurch versucht. Neben unzähligen Amateuren scheiterten einige der größten Mathematiker an dem "Parallelenproblem". Zeitweise grassierte die Suche nach einer Lösung wie eine Seuche. Im frühen 19. Jahrhundert war ihr etwa der ungarische Mathematiker Farkas Bolyai erlegen, und als sein Sohn János auch damit anfing, flehte er ihn an: "Um Gottes Willen, lass es! Hüte Dich davor wie vor der Fleischeslust, denn es stielt Dir all Deine Zeit und bringt Dich um Gesundheit, Seelenfrieden und Lebensglück."

          Hyperbolisch, euklidsch und elliptisch

          János Bolyai hielt sich nicht daran und ging damit als einer jener drei Mathematiker in die Geschichte ein, die unabhängig voneinander erkannten, dass Euklid recht hatte. Die anderen waren Carl Friedrich Gauss, der es wohl als Erster einsah, und der Russe Nikolai Lobatschewskij, der es als Erster publizierte: Das Parallelenaxiom lässt sich nicht ableiten, es muss für die herkömmliche Geometrie vorausgesetzt werden.

          Wenn man es aber streicht oder abändert, stößt man auf zwei neue Geometrien, die sich auf interessante Weise von der euklidischen unterscheiden: In der einen lassen sich durch besagten Punkt neben der Geraden unendlich viele Geraden legen, welche die Ausgangsgerade nicht schneiden - und in der anderen überhaupt keine. Die erste heißt "hyperbolische Geometrie", in ihr ist die Winkelsumme eines Dreiecks kleiner als 180° und der Kreisumfang größer als 2 mal Radius, und in der zweiten, der "elliptischen", ist es genau umgekehrt.

          Die Erkenntnis, dass Geometrie nicht euklidisch sein muss, war ein ungeheurer Schritt. Er war schmerzlich für Verfechter einer "anschaulichen Evidenz", aber er ermöglichte zum Beispiel Albert Einstein, seine Allgemeine Relativitätstheorie zu entwickeln, in der er Gravitationsfelder als geometrische Strukturen eines nichteuklidischen Raumes beschreibt. Der Keim dafür steckt bereits bei Euklid, der dem Parallelenpostulat axiomatischen Rang einräumte. Tat er es aus Einsicht, dann war er schlicht genial. Tat er es aus Verzweiflung, weil er es nicht abzuleiten vermochte, dann zeigt sich darin immerhin eine enorme Strenge im Denken, die Bertrand Russell eigentlich etwas höflicher hätte stimmen müssen.

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