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Die Mathematik der Epen : Die Netze der Helden und Täter

  • -Aktualisiert am

Maya-Tänze werden bei einem jährlichen Fest in Guatemala zelebriert. Bild: AFP

Sagen, Romane, Maya-Überlieferungen - das ist spannender Stoff für die Mathematik. Wie „echt“ ist das Erzählte, wie wahr sind Kriegsgeschichten? Historie - physikalisch entflechtet.

          10 Min.

          Für die Mathematik ist Hari Seldon ein Unbekannter. Niemand kennt ihn. Dabei hat Hari Seldon eine große mathematische Theorie entwickelt, die Psychohistorik. Eine Theorie, die es uns erlaubt, die Zukunft großer Populationen probabilistisch vorauszusagen. Der Grund, warum Seldon noch keine Fields-Medaille - den Nobelpreis der Mathematik - für seine bahnbrechende Arbeit bekommen hat, liegt in der Tatsache, dass Hari Seldon nicht in der realen Welt existiert, sondern auf den Seiten von Isaac Asimovs Science-Fiction-Klassiker „Foundation“. Mit Hilfe seiner fiktiven Wissenschaft entdeckt Seldon, dass das große galaktische Imperium, in dem er existiert, dem Untergang entgegensteuert und eine danach folgende lange Zeit des Barbarismus unvermeidbar scheint. Um die vorausgesagte Periode des Chaos zu verkürzen, schmiedet er ein gigantisches Projekt zur Bewahrung des Wissensstandes des Universums, durchgeführt von sogenannten Enzyklopädisten und gestützt auf den geheimen ,,Seldon-Plan“: die gezielte Lenkung der Geschichte durch eine Gruppe handverlesene Psychohistoriker, die dafür sorgen, dass der Plan nicht aus den Fugen gerät.

          So verlockend die Idee der Zukunftsvoraussage auch scheinen mag, sie wirft viele Fragen auf: Ist es wirklich denkbar, die Zukunft großer Menschenmengen vorauszusagen? Und was bedeutet eigentlich „voraussagen“? Dem heutigen Wissenschaftler lässt der Begriff Voraussage zwei Deutungen zu: Die erste ist die sogenannte deterministische Voraussage. Ein Apfel fällt immer vom Baum in Richtung Boden und nie umgekehrt, weil er von der Schwerkraft nach unten gezogen wird. Diese selbstverständliche deterministische Voraussage bedeutet auch, dass wir mit Hilfe von Newtons Mechanik die Bahn eines hochkomplexen Satelliten so präzise vorausbestimmen können, dass wir in der Lage sind, ihn zu lenken, bis er auf einem weit entfernten Kometen landet. Es gibt aber auch probabilistische Voraussagen, wenn wir zum Beispiel einen einfachen Würfel werfen und nicht mit hundertprozentiger Sicherheit behaupten können, welche Zahl rauskommt. Aber wo liegt der Unterschied zwischen dem hochkomplexen Satelliten und dem Würfel? Der Unterschied liegt in ihrer physikalischen Komplexität. Der Satellit gleicht einem Apfel, der vom Baum auf die Erde fällt. Die Zahl der relevanten Variablen, die die Satellitenbewegung bestimmen, ist klein, und wir kennen sie alle. Bei einem Würfel, dessen Bewegung nicht nur von dem Wurf, sondern auch von den Eigenschaften des Bodens, wo er letztendlich landen wird, abhängt, ist die präzise Voraussage unmöglich.

          Schwierige Berechnungen

          Nicht weil die Gesetze der Physik anders sind, sondern weil jegliche kleine Änderung in den Anfangsbedindungen, beispielsweise der Wurfwinkel, oder eine Änderung der Rauhigkeit oder Beschaffenheit des Bodens schon ausreicht, um das Endergebnis zu ändern. Die Unkenntnis aller relevanten Variablen zwingt uns, von der Wahrscheinlichkeit der Vorkommnisse zu sprechen, etwa ob eine 2 oder 5 vorkommt. Diese probabilistische Voraussage ist eine Art educated guess, die wir aus der Erfahrung (mehreren Experimenten) mit Hilfe einiger mathematischer Überlegungen machen können. Ein anderes Beispiel von Komplexität taucht auf, wenn die Zahl der Teilchen, mit denen wir uns beschäftigen, so groß ist, dass ihre Behandlung unmöglich wird. Das ist der Fall, wenn man die Temperatur eines Gases oder die magnetische Eigenschaften irgendeiner Eisenlegierung zu beschreiben versucht, indem man die Abermilliarden Atome als Bauelemente betrachtet und versucht, diese makroskopischen Eigenschaften, die man gut messen kann, als Eigenschaften der Mikrowelt zu deuten.

          Aber genau hier passiert etwas Erstaunliches: Es ist irrelevant, was ein einzelnes Teilchen allein tut; nur die Eigenschaften, die durch das Zusammenspiel einer ungeheuren Zahl von Teilchen entstehen, sind relevant. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und einiger physikalischer Überlegungen kommen wir aus der Sackgasse heraus. Diese bewährte Methode der probabilistischen Behandlung einer großen Zahl von Elementen heißt Statistische Physik.

          Menschen als Produkt der Epoche

          Nun sind wir Menschen keine Ansammlung willenloser Atome. Dennoch zeigt ein Blick in die Geschichte, dass trotz ihrer Individualität und Intentionalität Menschen auch ein Produkt ihrer Epoche sind. In den Menschenmassen spiegelt sich das, was man Zeitgeist nennen könnte und im Ergebnis dazu führt, dass uns Menschenmassen auch an die Physik der Gase erinnern - wenngleich deren Komplexität mit denen der Atome nicht zu vergleichen ist. Wenn wir in der Lage wären, herauszufinden, was uns verbindet, und gleichzeitig zu vernachlässigen, was uns unterscheidet, können wir vielleicht viel aus der Geschichte lernen. Der deutsch-amerikanische Historiker Peter Gay sagt: ,,Die Essenz der Sozialwissenschaften, wie aller anderen Wissenschaften, ist Objektivität.“ Hier liegt der Unterschied zwischen Mathematik und Geschichte. Anders als bei den Naturwissenschaften ist es bei den Geisteswissenschaften schwierig, ohne die Brille unserer Vorurteile und Weltansichten objektiv zu sein. In den Worten der Historiker Marten Düring und Linda von Keyserlingk liegt hier das Grundproblem der Geschichtsanalyse: Wo endet die Intentionalität und wo beginnt die Macht der Strukturen, innerhalb deren wir uns befinden?

          Verglichen mit Geisteswissenschaftlern, haben wir Physiker es leichter. Unsere Modelle sind gewissermaßen vereinfachte Versionen eines viel komplexeren Naturvorgangs. Es geht darum, die Spreu vom Weizen zu trennen. Was wir nun versuchen, ist, wie in der Physik eine einzelne Fragestellung mit einer gewissen mathematischen Präzision zu beantworten, ohne dabei zu vergessen, dass eine reine mathematische Betrachtungsweise die viel breitere Dimension der Geschichtsanalyse nicht ersetzen kann.

          Allgegenwärtige Netzwerke

          Geschichte ist eine Wissenschaft der Gesellschaft, und sie entsteht durch das Zusammenwirken ihrer Elemente, seien es Leute, Institutionen oder Ideen. Diese vielschichtigen Vernetzungen weisen erstaunliche Eigenschaften auf, und hier kommt das Zauberwort ins Spiel: Netzwerke. Netzwerke sind allgegenwärtig, obwohl wir sie normalerweise gar nicht wahrnehmen. Es kann das Straßennetzwerk eines Stadtviertels sein, das wir täglich benutzen, oder das verborgene Netzwerk chemischer Reaktionen unseres Metabolismus. Netzwerke können abstrakt sein, wie die Verkettung von Ideen oder, sehr konkret, wie die U-Bahn-Netze einer großen Stadt. Das Anwendungspotential der Netzwerkanalyse im historischen Bereich wurde von Historikern wie Wolfgang Reinhard in den späten siebziger Jahren erkannt und ist heute Teil der „Digital Humanities“. Netzwerke, die von Mathematikern auch Graphen genannt werden, haben eine ehrwürdige Geschichte, die uns zurück auf einen der größten Mathematiker überhaupt führen: Leonhard Euler. Der Basler Forscher fing mit dem bekannten Königsberger Brückenproblem an: der Frage, ob es möglich wäre, bei einem Rundgang alle sieben Brücken über dem Pregel zu überqueren, ohne eine Brücke zweimal zu benutzen. In den Händen eines Eulers entfaltet sich dieses Problem zu einer ganz neuen mathematischen Theorie mit vielseitigen Anwendungen. Brücken verbinden Stadtviertel, genau wie Bekanntschaft Menschen verbindet. Die Schönheit der Mathematik liegt genau in dieser Abstraktion: ob Menschen, Stadtviertel, Haltestellen oder chemische Elemente, sie alle unterliegen ein und demselben theoretischen Konstrukt, den Netzwerken. Die Verbindungen, in der Sprache der Mathematik Kanten genannt, können unterschiedlicher Art sein. Viel entscheidender aber als diese Vielfalt ist: Netzwerke weisen Eigenschaften aus, die wir ,,universell“ nennen. Universalität hat immer eine große Rolle in der Physik gespielt. Sie bedeutet, dass völlig verschiedene Systeme - ein Magnet oder ein Gas - unter gewissen Umständen durch ein und dieselbe Theorie beschrieben werden können.

          Netzwerke haben auch universelle Eigenschaften, wie das berühmte „Kleine-Welt-Phänomen“ der sozialen Netzwerke. Demnach ist jeder Mensch auf der Welt mit jedem anderen über eine überraschend kurze Kette von durchschnittlich sechs Bekanntschaftsbeziehungen verbunden. Diese Kette kann länger oder kürzer sein, an dem einen Ende könnten Michelle Obama oder Albert Einstein stehen, aber im Mittel gibt es dazwischen nur sechs Personen. In diesem Sinne ist die Zahl sechs ein Beispiel für Universalität (diese Zahl ist auch bekannt in der Netzwerktheorie als Kevin-Bacon-Zahl). Das Kleine-Welt-Phänomen ist ein Merkmal vieler sozialer Netzwerke und kann helfen, reale von erdachten Netzwerken zu unterscheiden, so zum Beispiel zwischen einem Netzwerk von Mitarbeitern in einer Firma und jenem eines Romans.

          Gleichgesinnte bleiben unter sich

          Es gibt auch eine andere interessante Eigenschaft sozialer Netzwerke: Sie sind assortativ, was bedeutet: Gleichgesinnte bleiben eher unter sich. Anders gesagt: Assortativität (oder Homophilie) bedeutet, dass in einem Netzwerk gut vernetzte Personen (einflussreiche Leute) überwiegend mit anderen Gutvernetzten verbunden sind. Um sie herum hängt eine Schar von Leuten, deren Zugang zu Mr. Wichtig nicht direkt, sondern über Mr. Berühmt stattfindet. Dissortative Netzwerke dagegen sind selten im sozialen Kontext zu finden, da normalerweise Netzwerke über gemeinsame Interesse aufgebaut werden. Daher ist Dissortativität ein Maß dafür, wie künstlich (beziehungsweise fiktiv) ein Netzwerk ist. Strukturelles Gleichgewicht ist ein anderes Merkmal von realen Netzwerken: Es ist die Tendenz einer Triade (oder Dreiergruppe), eine gerade Zahl von Feindseligkeitsverbindungen zu zeigen. In gewissen Konfliktsituationen zwischen zwei Akteuren wird der gemeinsame Bekannte Partei ergreifen und am Ende wird aus einem Freund ein Feind.

          Anhand solcher Konzepte haben eine Gruppe von Wissenschaftlern um Ralph Kenna von der Universität Coventry und Padraig Mac Carron aus Oxford geprüft, ob auch historische Netzwerke diese Eigenschaften aufweisen. Man könnte damit etwa verstehen, ob ein Bericht vielleicht geschönt wurde, ebenso wie ein Buchhalter mit Hilfe des Benfordschen Gesetzes prüfen kann, ob ein Kassenbuch gefälscht wurde. Da alle diese Eigenschaften wie Assortativität, durchschnittlicher Abstand oder strukturelles Gleichgewicht mathematisch definiert sind, kann man sie gut messen, und zwar besser, je größer das Netzwerk ist.

          Analyse von Epen

          Man kann, quasi als Versuchsgelände der Netzwerkanalyse, nun damit anfangen, bekannte Epen zu analysieren: Die angelsächsische Heldenepik „Beowulf“ oder Homers „Ilias“ etwa, die Annalen der antiken Iren oder auch die isländischen Sagas - die „Íslendinga Sögur“. Sie alle verzeichnen komplexe Verbindungen zwischen Hunderten von Persönlichkeiten. Trotz einiger bekanntlich erdichteter Gestalten wie Grendel in „Beowulf“ oder die Bullen Finnbhennach und Donn Cúailnge in der irischen „Táin Bó Cúailnge“, gibt es von einigen Epen trotzdem historische Belege, etwa aus der Archäologie. Diese können als eine Art Wahrheitsmaßstab dienen, und dies umso mehr, wenn man die erfundenen Charaktere aus der Analyse herausnimmt und nur die vermuteten historischen Personen im Netzwerk lässt. Auf diese Weise erhält man eine Art Thermometer, das uns hilft, zwischen Fiktion und Wahrheit zu unterscheiden.

          Unter den Epen finden wir bei den „Íslendinga Sögur“ vielleicht das beste Muster. Sie beschreiben die Geschichte von Familien und Konflikten zwischen den ersten Island-Siedlern und ihren Nachkommen, die vermutlich zwischen dem 9. und 11. Jahrhundert lebten und zeigen, wie kleine Auseinandersetzungen sich zu größeren Konflikten ausweiteten. Anders als in der „Ilias“, wo Feinde sich erst auf dem Kriegsschauplatz treffen, entsteht in den Sagas der Isländer Feindseligkeit durch Blutfehden. Trotz einiger literarischen Verzierungen glauben die Archäologen, dass die Geschichten der Sögur ein historisches Fundament haben. Was die „Íslendinga Sögur“ besonders interessant macht, ist die Tatsache, dass sie sehr viel mehr Frauennetzwerke verzeichnen als alle anderen Epen. Waren unter den Autoren auch Frauen?

          Vor allem Konflikte

          Der „Táin Bó Cúailnge“ („Der Rinderraub von Cooley“) schildert den Krieg zwischen den irischen Ländern von Connacht und Ulster und die darauffolgende Invasion von Ulster durch die Armee von Königin Medb of Connacht, mit dem Ziel, den legendären Bullen Donn Cúailnge zu stehlen. Die Heldentaten des berühmten Cúchulainn, der der Königinnenarmee entgegentritt, werden auch beschrieben. Die Táin-Erzählung aus dem Ulster-Zyklus gilt als die Sage, deren Historizität - abgesehen von den offensichtlich erfundenen Akteuren - insgesamt am meisten in Frage gestellt wird. Die Ergebnisse der Netzwerkanalyse bestätigen diese Künstlichkeit. Ein beträchtlicher Teil davon kommt durch sechs Akteure. Wenn man sie aus der Analyse herausnimmt, zeigt der Táin die Eigenschaften echter sozialer Netzwerke.

          All diese Netzwerke, vom Ilias bis zum Táin, sind strukturell ausgewogen sowie leicht dissortativ: Da sie vor allem Konfliktsituationen beschreiben, ist die Tendenz, dass sich Untergruppen bilden, immer da. Diese verschiedenen Kriegsparteien, die feindlich aufeinander eingestellt sind, machen die Netzwerke dissortativ. Aber wenn man nur eine Untergruppe betrachtet, ist die Assortativität wieder da. Die Frage ist: Sind diese Eigenschaften tatsächlich universell? Was passiert, wenn man die europäischen Epen mit denen der Neuen Welt vergleicht? Kann man, der Theorie des Monomythen des amerikanischen Mythologen Joseph Campbell folgend, Gemeinsamkeiten finden? Um diese Frage zu beantworten, wurden zwei Schöpfungsgeschichten vom amerikanischen Kontinent unter die Lupe genommen: die „Diné Bahane’“ (Geschichte des Volkes) der Navajos aus dem amerikanischen Südwesten und die „Popol Vuh“ (Buch des Volkes) der K’iché-Indianer, aus dem Hochland Guatemalas, die Nachkommen der Mayas. Das erste Problem der amerikanischen Geschichten liegt darin, dass sie nicht so gut dokumentiert sind wie ihre europäischen Ebenbilder. Die Überlieferung fanden nicht schriftlich, sonder mündlich statt, und erst seit dem 17. („Popol Vuh“) beziehungsweise dem 20. Jahrhundert („Diné Bahane’“) liegt eine schriftliche Fassung dieser Epen vor.

          Die Neue Welt hat andere Epen

          Die Analyse zeigt, dass die Epen der Neuen Welt völlig anders sind. Dies überrascht nicht, wenn man sieht, dass es sich um die Beschreibungen der Entstehung der Welt selbst durch das Wirken mythischer Figuren handelt. Der „Popol Vuh“ zum Beispiel beschreibt neben der Schöpfung und der Sintflut die Geschichte der Zwillingshelden Hunahpú und Xbalanqué und wie sie mit den Fürsten von Xibalbá (Hölle) oder den Dämonen Zipacna (Erdkruste) und Cabrakan (Erdbeben) ,,kämpfen“ - indem sie nämlich ihren Zwist durch ein Ballspiel entscheiden. Die Gewaltbereitschaft ist in „Popol Vuh“ immer präsent. Unter allen bisher untersuchten Epen ist der „Popol Vuh“ der einzige, der strukturell in der Vernetzung nicht ausgewogen ist und - relativ gesehen - die größte Zahl von feindseligen Verbindungen aufweist.

          Was man aus dieser Analyse schließen kann, ist ein Beleg für die kriegerische Gesinnung der Mayas, die durch die Überlieferungen - eine Art Bibel - offensichtlich versucht haben, die Gewaltbereitschaft ihrer Gesellschaft zu rechtfertigen.

          Wie kommt man jetzt von den Epen zur Geschichtsschreibung? Die Epen, als Mischform zwischen Realität und Fiktion, sind ideale Versuchsobjekte, um zu testen, ob man die Netzwerkanalyse tatsächlich für so etwas wie ein „ Historizitätsthermometer“ verwenden kann, mit dessen Hilfe man den Grad an Realismus oder Fiktion besser abschätzen lässt.

          Im elften Teil von „Krieg und Frieden“ benutzt Leo Tolstoi eine mathematische Metapher, die ihresgleichen in der Weltliteratur sucht und die erklärt, wie man eine Theorie der Geschichte aufbaut. In Tolstois Meisterstück heißt es: ,,Die aus einer unzähligen Menge menschlicher Willensäußerungen resultierende Bewegung der Menschheit vollzieht sich in stetiger Folge. Die Gesetze dieser Bewegung zu verstehen ist das Ziel der Geschichtsforschung . . . Nur wenn wir einen unendlich kleinen Einzelteil (das Differential der Geschichte, d. h. die gleichartigen Bestrebungen der Menschen) zum Gegenstand der Betrachtung machen, und uns auf die Integralrechnung verstehen (die Kunst, die Summe dieser unendlich kleinen Einzelteile zu berechnen), nur dann können wir hoffen, zu einem Verständnis der Gesetze der Geschichte zu gelangen.“

          Dennoch sollte man natürlich die Mathematisierung der Geschichte mit Vorsicht genießen. Wir sind noch weit von mathematischen Gesetzen entfernt, mit denen Geschichte beschrieben werden könnte. Netzwerke sind aber ein guter Anfang.

          Silvio Renato Dahmen ist Humboldt-Stipendiat und Physiker an der Universidade Federal do Rio Grande do Sul in Porto Alegre, Brasilien.

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