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Bourbaki : Freimaurer der Mathematik

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Unverdiente Ehre auf dem Feld der Mathematik: So sah Genaral Charles-Denis Bourbaki aus. Bild: Archiv

Unter dem Namen Bourbaki publizierte eine Gruppe brillanter Mathematiker ab den dreißiger Jahren einflussreiche Grundlegungen mathematischer Gebiete. 1998 erschien der bisher letzte Band. Was blieb von Bourbaki?

          Gesehen hat Nicolas Bourbaki niemand. Weder Bilder noch Tonaufnahmen existieren von ihm. Was es gibt, das sind allein die Éléments de Mathématique, eine Serie von Lehrbüchern, von denen das letzte 1998 erschien. Ursprünglich sollte es nur ein einziges werden, eines über Analysis - ein grundlegendes Kompendium für Professoren und Studenten, Lehrer und Ingenieure. Mächtige Werkzeuge wollte Bourbaki ihnen an die Hand geben, die universell einsetzbar sind und ohne Hypothesen auskommen. Kein Begriff sollte undefiniert, kein Schritt unbewiesen bleiben. Bourbaki plante eine Grundlegung der Analysis, deren Tiefe er ebenso wenig vorhersehen konnte wie den Aufruhr, in den das Erscheinen seines ersten Werkes 1939/40 die Fachwelt versetzte.

          Als Nicolas Bourbaki sich 1934 ans Werk machte, wollte er binnen Jahresfrist fertig sein. Heute, 7000 Druckseiten später, ist das gesteckte Ziel noch immer nicht in Sicht. Unübersehbar sind dagegen die Spuren, die Bourbakis Schriften in der Mathematik hinterlassen haben, abstrakte Begrifflichkeiten, die weit präziser sind als suggestive Schaubilder. "Die Lehrbücher der Nachkriegszeit hatten einen sehr heuristischen Charakter", sagt Eberhard Schock, Mathematiker an der Universität Kaiserslautern. Ihre Leser bekamen Formeln ohne Begründung vorgesetzt, die zudem vereinfacht waren oder Fallunterscheidungen ignorierten. Damit machte Bourbaki Schluss. Seine Art der Darstellung der Analysis zwang zu Vollständigkeit und Präzision.

          Der kollektive Autor

          Diese waren längst Standard, als Bourbaki in den 50er Jahren die Aufnahme in die Amerikanische Mathematische Gesellschaft beantragte. Doch die Gesellschaft lehnte ab. Sie verwies auf einen Eintrag in der Encyclopedia Britannica, dem zufolge es keinen Mathematiker mit dem Namen Nicolas Bourbaki gab. Entrüstet griff Bourbaki zur Feder und beschwerte sich beim Herausgeber des Nachschlagewerks, Walter Yust, wie er es wagen könne, zu behaupten, dass er, Bourbaki, nicht existiere. Yust reichte den Beschwerdebrief weiter an Ralph Boas, den Autor des Eintrags, mit der Bitte um Aufklärung. Boas, Mathematiker an der Northwestern University, reagierte gelassen: Entgegen seiner Gewohnheit beginne Bourbaki unpräzise zu werden, schrieb er zurück, schließlich habe er nicht die Nichtexistenz von Bourbaki behauptet, sondern seine Nichtindividualität.

          Nicolas Bourbaki ist ein Kollektivautor. Im Geiste geboren wurde er 1934 in Paris. In einem Straßencafé des Quartier Latin versammelten die französischen Mathematiker André Weil und Henri Cartan weitere sieben junge Kollegen, um die einleitenden Kapitel des Analysis-Buches zu diskutieren. Sie sollten möglichst kurz das abstrakte Fundament der Analysis abhandeln; ein Fundament, das schließlich zum umfassenden Hauptteil geriet. Das Mathematikerkollektiv abstrahierte die Analysis so weit, bis es auf Strukturen stieß, die sich in anderen Zweigen der Mathematik wiederholten.

          Im Namen des Generals

          Die Aufgabe war nur gemeinschaftlich zu stemmen. Einzelkämpfer, die sich bis dahin nur in Briefen oder auf Kongressen austauschten, wären dazu nicht in der Lage gewesen. Deshalb traf sich die Gruppe um Weil und Cartan alle zwei Wochen. Sie verstand mathematische Forschung als kollektives Projekt. Das ist heute, in der Ära des Internets, selbstverständlich. "Man fragt sich, wie das damals überhaupt laufen konnte", sagt der Mathematikprofessor Günter Ziegler von der Technischen Universität Berlin. "Wenn ich auf ein Problem stoße, schreibe ich an die fünf, sechs Kollegen, die sich auf dem Fachgebiet auskennen, eine Mail." Die leiten die Mail weiter, und mit etwas Glück erhält der ursprüngliche Absender die Nachricht, dass ein Doktorand eines Kollegen einen Spezialfall des Problems lösen kann.

          Die Effektivität gemeinschaftlichen Problemlösens war für die jungen Franzosen in den 1930ern nur die eine Seite ihres Unternehmens. Es ging ihnen auch darum, individuellen Forscherruhm in Frage zu stellen. Sie begriffen sich als Kollektivautor, zu dessen Werk jedes Gruppenmitglied namenlos beitrug - obwohl sie selbst namhafte Mathematiker waren. Fünf von ihnen sollten sogar die höchste Auszeichnung der Mathematik, die Fields-Medaille, erhalten - für Leistungen, die sie außerhalb der Gruppe erbrachten. Der Kollektivautor jedenfalls brauchte einen Namen, der den Deckel des Lehrbuchs zieren sollte. Ohne dass sie davon wussten, war er den Mathematikern damals schon bekannt.

          "Bourbaki! Bourbaki!", riefen die Jungmathematiker übermütig, als sie sich 1935 an einem Julitag nach hitzigen Diskussionen in einen See bei Besse-en-Chandesse stürzten. Der Schlachtruf und der Übermut gingen auf einen Streich zurück, den ihnen einst zu Studienzeiten ein Kommilitone an der École Normale Supérieure gespielt hatte. Er hatte sich als Professor ausgegeben und eine Vorlesung gehalten, in der er sich ausgehend von Allgemeinplätzen der Funktionentheorie zu gewagten Theoremen verstieg, denen er Namen französischer Generäle des 19. Jahrhunderts gegeben hatte. Einer davon hieß Bourbaki (siehe "Der Name des Generals").

          Rigorose Beweismethoden

          Bourbaki steht für einen rigiden Formalismus. Die Bourbakisten fühlten sich der axiomatischen Methode des führenden deutschen Mathematikers David Hilbert (1862 bis 1943) verpflichtet und drangen auf eine Vereinheitlichung. Die Axiomatik verlangte eine klare Darstellung der Grundregeln, denen mathematische Objekte gehorchen mussten, die Vereinheitlichung verlangt eine universale Terminologie. Neue Begriffe und Symbole wie Ø für die leere Menge zogen auf diesem Weg in die Mathematik ein.

          Vorbild für Bourbaki und Hilbert war Euklid. Der alte Grieche schrieb im vierten Jahrhundert vor Christus sein Hauptwerk, Die Elemente. Es beginnt mit den Definitionen für den Punkt, die Gerade und so weiter. Dann stellte Euklid Axiome auf; etwa dass zwei Punkte durch eine Gerade verbunden werden können, eine Gerade unendlich oder ein Kreis durch seinen Mittelpunkt und Radius bestimmt ist. Darunter war auch das Parallelenaxiom, dem zufolge zwei in einer Ebene liegende Geraden sich in einem Punkt schneiden, wenn der zwischen den Geraden eingeschlossene Winkel kleiner ist als zwei rechte Winkel. Ausgehend von den Definitionen und Axiomen stellte Euklid Beweise auf, etwa den, dass die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck immer 180 Grad beträgt.

          Über zweitausend Jahre später zeigten nahezu gleichzeitig János Bolyai, Nikolai Lobatschewsky und Carl Friedrich Gauß, dass Euklids Parallelenaxiom von den anderen Postulaten unabhängig, also ein echtes Axiom ist. Sie ersetzten es einfach durch ein anderes, das ihm widersprach: dass zwei Geraden unter den genannten Bedingungen sich in mehr als einem Punkt schneiden. Trotz der Vertauschung der Axiome blieb die Geometrie stimmig. Es ließen sich nach wie vor dieselben bekannten geometrischen Lehrsätze ableiten. Mit kleinen Einschränkungen: So blieb die Winkelsumme im Dreieck zwar konstant, konnte aber durchaus größer ausfallen als 180 Grad.

          Die Einheit der Mathematik im Blick

          Wäre Euklids Parallelenaxiom kein echtes Axiom, dann hätten sich Widersprüche in den Ableitungen ergeben müssen. Diese blieben aber aus; die nichteuklidische Geometrie ist widerspruchsfrei - nur sehen Geraden, Dreiecke oder Quadrate anders aus. Hilbert verzichtete daher in seinen "Grundlagen der Geometrie" auf ihre Definition. Statt von Punkten und Geraden könnte die Geometrie auch von Tischen und Stühlen handeln. Was zählt, ist allein ihr Verhältnis zueinander. Und dieses ist durch die Axiome definiert. Nur die daraus abgeleiteten Eigenschaften sind allgemeingültig, weil sie für jede beliebige Menge von Objekten gelten, sofern sie den Axiomen genügen.

          Die axiomatische Methode sollte Nicolas Bourbaki das mathematische Fundament liefern, auf dem er die abstrakten Strukturen der Mathematik errichten würde. Geometrie, Algebra, Analysis oder Zahlentheorie sollten nicht länger als verschiedene, einander fremde Gebiete gelten können. Bourbaki ging es darum, bereits bekannte mathematische Erkenntnisse zu verallgemeinern und so zu systematisieren, dass die Einheit der Mathematik sichtbar würde. Und sichtbar würde sie dann, wenn sich überall dieselben Strukturen zeigten.

          Eine solche Struktur ist beispielsweise die Gruppenstruktur. Sie findet sich in der Verknüpfung von Mengen. Zählt man zwei Zahlen zusammen, werden zwei Zahlmengen über die Addition miteinander verknüpft. Die Eigenschaften der Verknüpfungen regeln die Gruppenaxiome. Eines davon besagt, dass es ein neutrales Element geben muss, welches ein Element nicht verändert, wenn es mit ihm verknüpft wird. Weil nun eine Zahl, zu der nichts hinzugezählt wird, unverändert bleibt, ist die Null das neutrale Element der Addition. Die auf diese Weise gefundenen Eigenschaften additiver Verknüpfungen gelten allgemein, ob man nun Münzen zusammenzählt, Punkte, Geraden oder Kieselsteine. Die Addition ist so strukturiert, dass das Hinzuzählen des neutralen Elements an der Summe nichts ändert.

          Elementare Strukturen

          Von Strukturen wurde schon vor Bourbaki gesprochen, vor allem in der Linguistik. Aber erst in der Mathematik erhielten Strukturen ihre begriffliche Schärfe. Das war auch dem Ethnologen Claude Lévi-Strauss bewusst, als er untersuchte, nach welchen Regeln südamerikanische Stämme ihre Stammesmitglieder verheirateten. Hilfesuchend wandte er sich 1942 an den Mathematiker Jacques Hadamard. Doch der winkte ab: "Die Mathematik kennt vier Operationen, die Heirat ist keine von ihnen!"

          Ein Jahr später traf Lévi-Strauss auf den Bourbakisten André Weil. Der löste das Heiratsproblem gruppentheoretisch, indem er die Heirat ignorierte und sich stattdessen auf die Verhältnisse konzentrierte, die sich aus den Heiraten ergaben. Die möglichen Verheiratungen notierte André Weil als sogenannte Permutationen, in denen die Männer und Frauen jedes Stammes Zahlen zugewiesen bekamen. Nachdem Weil die Stämme als Mengen erfasst hatte, deren Verknüpfung in Permutationen ausgedrückt war, konnte er mit Hilfe der Gruppenstruktur die komplexen Verheiratungsregeln herauspräparieren.

          Außer den Strukturen der Éléments de Mathématique drang von Bourbaki kaum etwas an die Öffentlichkeit. Die Bourbakisten sind zur Geheimhaltung verpflichtet. Niemand außerhalb der Gruppe darf wissen, wer Mitglied ist, wann sie sich treffen und worüber sie arbeiten. Von der Schweigepflicht entbunden sind die Logenmathematiker erst nach dem Ende ihrer Mitgliedschaft, das spätestens im Alter von 50 Jahren eintritt. Damit soll die Größe der Gruppe begrenzt und ihre Exzellenz sichergestellt werden - sofern es denn stimmt, dass Mathematiker mit 50 ihren kreativen Zenit überschritten haben. Die Altersgrenze der Bourbakisten hat zudem den Vorzug, dass keiner von ihnen sein Geheimwissen mit ins Grab nimmt.

          Gibt es ihn noch?

          Nicht nur wer mitgearbeitet hat, wurde so bekannt, sondern auch wie Bourbaki arbeitet: Die Bourbakisten beauftragen einen aus ihren Reihen damit, ein Kapitel eines Lehrbuches zu verfassen. Sobald es fertig ist, verliest der Beauftragte das Kapitel laut in der Gruppe. Satz für Satz wird es auseinandergenommen und schonungslos kritisiert. Danach erhält ein anderes Mitglied den Auftrag zur Neufassung desselben Kapitels; auch ihn erwartet dasselbe Schicksal - bis alle mit dem Text einverstanden sind. Denn Bourbaki entscheidet immer einstimmig.

          Oder besser gesagt: Er entschied. Denn ob sich die Gruppe noch trifft, an welchen Themen und Aufgaben sie arbeitet, ist unbekannt. Günter Ziegler ist sich allerdings ziemlich sicher, dass Bourbaki heute Geschichte ist. "Wer zehn Jahre nichts publiziert hat, den gibt's nicht mehr." Auch andere Mathematiker rechnen nicht damit, dass der kollektive Franzose noch einmal etwas von sich hören lässt. Seine Definitionen und Beweismethoden sind Gemeingut geworden, seine Begriffsstrukturen haben sich verfestigt. Die Zunft ist von diesen Fundamenten aus längst zu neuen Ufern aufgebrochen. "Die Entwicklung von Formalismen ohne ein einziges Beispiel ist gepredigt und übertrieben worden", findet Günter Ziegler. Heute interessierten sich die Mathematiker mindestens genauso dafür, was man innerhalb der abstrakten Strukturen konkret machen könne. Statt also nur nach weiteren Abstraktionen zu streben, sehen sie sich nach Anwendungen des Etablierten um.

          Und noch etwas dürfte Bourbaki die Rückkehr erschweren: Er passt nicht mehr in das individualistische Karrieremuster. In Berufungsverfahren gehen anonyme Kollektivleistungen nicht ein. Der Anreiz, sich an so etwas zu beteiligen, ist für junge Mathematiker daher gering, und die älteren sind damit beschäftigt, Konferenzen zu organisieren, in Gremien zu sitzen oder Berichte zu schreiben. Für Logenaktivitäten bleibt da kaum Zeit. Und eine Vereinheitlichung der Mathematik brauchte mehr Zeit denn je; schließlich verzweigt sie sich immer weiter und immer schneller. In der Gründungszeit Bourbakis erschienen jährlich etwa 3000 Fachartikel der Mathematik, heute sind es über 100 000. Ernsthaft erneuern könnte Bourbaki die Mathematik daher nicht mehr.

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