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Bourbaki : Freimaurer der Mathematik

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Über zweitausend Jahre später zeigten nahezu gleichzeitig János Bolyai, Nikolai Lobatschewsky und Carl Friedrich Gauß, dass Euklids Parallelenaxiom von den anderen Postulaten unabhängig, also ein echtes Axiom ist. Sie ersetzten es einfach durch ein anderes, das ihm widersprach: dass zwei Geraden unter den genannten Bedingungen sich in mehr als einem Punkt schneiden. Trotz der Vertauschung der Axiome blieb die Geometrie stimmig. Es ließen sich nach wie vor dieselben bekannten geometrischen Lehrsätze ableiten. Mit kleinen Einschränkungen: So blieb die Winkelsumme im Dreieck zwar konstant, konnte aber durchaus größer ausfallen als 180 Grad.

Die Einheit der Mathematik im Blick

Wäre Euklids Parallelenaxiom kein echtes Axiom, dann hätten sich Widersprüche in den Ableitungen ergeben müssen. Diese blieben aber aus; die nichteuklidische Geometrie ist widerspruchsfrei - nur sehen Geraden, Dreiecke oder Quadrate anders aus. Hilbert verzichtete daher in seinen "Grundlagen der Geometrie" auf ihre Definition. Statt von Punkten und Geraden könnte die Geometrie auch von Tischen und Stühlen handeln. Was zählt, ist allein ihr Verhältnis zueinander. Und dieses ist durch die Axiome definiert. Nur die daraus abgeleiteten Eigenschaften sind allgemeingültig, weil sie für jede beliebige Menge von Objekten gelten, sofern sie den Axiomen genügen.

Die axiomatische Methode sollte Nicolas Bourbaki das mathematische Fundament liefern, auf dem er die abstrakten Strukturen der Mathematik errichten würde. Geometrie, Algebra, Analysis oder Zahlentheorie sollten nicht länger als verschiedene, einander fremde Gebiete gelten können. Bourbaki ging es darum, bereits bekannte mathematische Erkenntnisse zu verallgemeinern und so zu systematisieren, dass die Einheit der Mathematik sichtbar würde. Und sichtbar würde sie dann, wenn sich überall dieselben Strukturen zeigten.

Eine solche Struktur ist beispielsweise die Gruppenstruktur. Sie findet sich in der Verknüpfung von Mengen. Zählt man zwei Zahlen zusammen, werden zwei Zahlmengen über die Addition miteinander verknüpft. Die Eigenschaften der Verknüpfungen regeln die Gruppenaxiome. Eines davon besagt, dass es ein neutrales Element geben muss, welches ein Element nicht verändert, wenn es mit ihm verknüpft wird. Weil nun eine Zahl, zu der nichts hinzugezählt wird, unverändert bleibt, ist die Null das neutrale Element der Addition. Die auf diese Weise gefundenen Eigenschaften additiver Verknüpfungen gelten allgemein, ob man nun Münzen zusammenzählt, Punkte, Geraden oder Kieselsteine. Die Addition ist so strukturiert, dass das Hinzuzählen des neutralen Elements an der Summe nichts ändert.

Elementare Strukturen

Von Strukturen wurde schon vor Bourbaki gesprochen, vor allem in der Linguistik. Aber erst in der Mathematik erhielten Strukturen ihre begriffliche Schärfe. Das war auch dem Ethnologen Claude Lévi-Strauss bewusst, als er untersuchte, nach welchen Regeln südamerikanische Stämme ihre Stammesmitglieder verheirateten. Hilfesuchend wandte er sich 1942 an den Mathematiker Jacques Hadamard. Doch der winkte ab: "Die Mathematik kennt vier Operationen, die Heirat ist keine von ihnen!"

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