https://www.faz.net/-gwz-8wzew

Spiel des Lebens : Die mathematische Echse

Die Färbung der Schuppen der Perleidechse ergibt sich aus einem Algorithmus, der aus der Informatik bekannt ist. Bild: Michel C. Milinkovitch

Abstrakte Kunst: Das Schuppenmuster der Perleidechse vereint die Theorien der Informatikpioniere Alan Turing und John von Neumann.

          4 Min.

          Auch ohne den gestaltenden Einfluss des Menschen ist die Welt voller Muster. Nicht zuletzt Farbmuster auf der Haut und auf dem Fell von Tieren zeigen eine beeindruckende Formenvielfalt: Punkte, Streifen, Mosaike oder labyrinthartige Windungen. Die Frage, woher diese Muster kommen, hat schon immer für viele, nicht nur wissenschaftliche Spekulationen gesorgt. Weithin bekannt ist beispielsweise Rudyard Kiplings phantasievolle Tierfabel „Wie der Leopard zu seinen Flecken kam“, in der er seinen Kindern den Ursprung des Aussehens der Raubkatze erklärte.

          Sibylle Anderl

          Redakteurin im Feuilleton.

          Die Grundlagen für das Verständnis der Entstehung von Strukturen in biologischen Systemen wurden 1952 von Alan Turing, dem Begründer der modernen Informatik, in einem wegweisenden Artikel zur chemischen Grundlage der Morphogenese gelegt. Dabei ging er davon aus, dass biologische Musterungen von der räumlich variierenden Konzentration bestimmter chemischer Substanzen verursacht werden. Diese sogenannten Morphogene können durch die Hautzellen diffundieren und miteinander reagieren. Wenn man dies mathematisch formuliert – man erhält dabei ein sogenanntes Reaktions-Diffusions-Modell –, sieht man, dass eine anfängliche Gleichverteilung so gestört werden kann, dass verschiedene chemische Konzentrationsmuster entstehen. Diese Konzentrationsschwankungen erstrecken sich über viele Zellen und verursachen schließlich die gemusterte Erscheinung des Tieres.

          Knapp vierzig Jahre später wurde diese theoretische Einsicht vom Mathematiker James Murray explizit auf die Entstehung von Fellmustern angewendet. Die Fellfarbe wird durch Pigmentzellen bestimmt, deren Pigmentproduktion in Murrays Modell von der Existenz chemischer Aktivatoren und Hemmer abhängt. Wenn man dieses System mit Turings Gleichungen beschreibt, können viele auf der Erde beobachtbare Fellfärbungen rekonstruiert werden, vom gefleckten Fell eines Leoparden bis zu den Streifen der Zebras. Man nimmt an, dass das Muster im embryonalen Zustand festgelegt und von der Größe und Form des Embryos zu diesem Zeitpunkt bestimmt wird.

          Klassisches Rätsel mit mathematischer Lösung: Wie kommt das Zebra zu seinen Streifen?
          Klassisches Rätsel mit mathematischer Lösung: Wie kommt das Zebra zu seinen Streifen? : Bild: dpa

          Dieser Erklärungsansatz funktioniert allerdings nicht bei allen Tieren. Die Haut der Perleidechse, Timon lepidus, zeigt im Erwachsenenalter ein schwarz-grünes Labyrinthmuster, das sich aus verschieden, aber jeweils einfarbig gefärbten Schuppen zusammensetzt. Die Musterung ergibt sich also auf einer mesoskopischen räumlichen Skala: Die einfarbigen Schuppen als Einheiten des Musters sind größer als einzelne Zellen. Die Färbung der Schuppen kann außerdem im Laufe des Echsenlebens zwischen schwarz und grün wechseln.

          Jede einzelne Schuppe im Laufe der Zeit verfolgt

          Das kontinuierliche Turingsche Reaktions-Diffusions-Modell allein vermag die schuppenbasierte Färbung nicht zu beschreiben. Um der Funktionsweise dieser besonderen Hautfärbung auf die Spur zu kommen, haben Wissenschaftler um Liana Manukyan von der Universität Genf die Färbung dreier Perleidechsen über vier Jahre hinweg genau verfolgt. Dabei nutzten sie eine Scantechnologie, mit der die dreidimensionale Geometrie und das Schuppenmuster jeder Echse regelmäßig eingelesen werden konnte. Die Tatsache, dass die Anzahl und relative Position der Schuppen sich im Leben einer Perleidechse nicht ändert, macht es möglich, die Färbung jeder einzelnen Schuppe im Laufe der Zeit zu verfolgen.

          Die Auswertung der Daten brachte ein erstaunliches Ergebnis zutage, wie die Wissenschaftler in der Zeitschrift „Nature“ berichten. Wenn die Forscher davon ausgingen, dass die Zellen ihre Färbung voneinander unabhängig ändern, so dass lediglich der relative Anteil der Farben Schwarz und Grün konstant blieb, konnten sie das beobachtete Labyrinthmuster nicht reproduzieren. Dies gelang nur, sobald sie annahmen, dass die Farbe einer Schuppe von den Farben ihrer Nachbarschuppen beeinflusst wird. Solch ein Verhalten entspricht dem eines sogenannten zellulären Automaten.

          Der amerikanische Mathematiker John von Neumann hatte dieses Konzept Ende der vierziger Jahre als ein universelles Berechnungsmodell für Prozesse der Selbstreproduktion und biologischen Organisation eingeführt. John Horton Conways „Game of Life“ stellt eine bekannte Umsetzung dieser Idee dar. Aus den Beobachtungsdaten konnten die Forscher die Regeln eines probabilistischen Zellularautomaten ableiten: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schuppe zu einem bestimmten Zeitpunkt ihre Farbe ändert, hängt davon ab, welche Farben ihre direkten Nachbarschuppen zu einem früheren Zeitpunkt besitzen. Eine anhand der abgeleiteten Regeln programmierte, numerische Simulation war in der Lage, auf einem quasihexagonalen Gitter Muster zu erzeugen, die von der beobachteten Schuppenfärbung kaum zu unterscheiden waren.

          Die Perleidechse, Timon lepidus, besitzt eine komplexe Färbung. Das abgebildete Jungtier wartet noch auf sein charakteristisches Labyrinthmuster.
          Die Perleidechse, Timon lepidus, besitzt eine komplexe Färbung. Das abgebildete Jungtier wartet noch auf sein charakteristisches Labyrinthmuster. : Bild: Juan M. Pleguezuelos

          Wie passt dieser Befund aber mit Turings Theorie der Morphogenese zusammen, mit der die Haut- und Fellfärbung anderer Tiere auf mikroskopischer Ebene so erfolgreich beschrieben werden kann? Um dies zu beantworten, mussten die Forscher verstehen, wie mikroskopisch die homogene Färbung einzelner Schuppen zustande kommt und wie gleichzeitig der Farbwechsel beim Übergang von einer zu einer benachbarten Schuppe funktioniert. Schließlich musste erklärt werden, inwiefern sich die Transformationsregeln des zellulären aus den kontinuierlichen Gleichungen des Reaktions-Diffusions-Modells ableiten lassen.

          Die Wissenschaftler stellten zunächst fest, dass ein kontinuierliches Gleichungsmodell niemals ein mesoskopisches Schuppenmuster hervorbringen kann, sofern die Haut nicht als dreidimensionale Struktur berechnet wird. Die Hautdicke der Echsen ist variabel: Zwischen den Schuppen ist sie sehr viel geringer als innerhalb der Schuppen, wodurch auch die Dichte der pigmenttragenden Zellen und deren Interaktionsfläche zwischen den Schuppen kleiner ist. Wenn diese variable Struktur mathematisch in das Reaktions-Diffusions-Modell integriert wird, lässt sich tatsächlich ein großflächiges Muster generieren, das auf jeweils einfarbigen Schuppen basiert, deren Farbe sich ändern kann. Aus Turings Gleichungen erwächst dann ein Verhalten, das einem von Neumannschen zellulären Automaten entspricht. Wie beide Beschreibungen auch mathematisch miteinander verbunden sind, wurde in der Studie vom Mathematiker und Träger der Fields-Medaille Stanislaw Smirnow gezeigt.

          Das resultierende Modell erklärt nicht nur das Muster selbst, sondern auch die zeitliche Veränderung der Echsenhaut. Je älter die Tiere werden, desto weniger ändert sich die Färbung ihrer Schuppen. Tatsächlich vergrößert sich im mathematischen Modell mit der Zeit die Anzahl der Schuppen, die mit hoher Wahrscheinlichkeit ihre aktuelle Farbe behalten – die Schuppenfärbung konvergiert.

          Sollten künftige Experimente die Details der ablaufenden chemischen und zellulären Wechselwirkungen klären können, wäre sogar denkbar, dass man die Schuppenmuster experimentell manipuliert. Nachdem der zelluläre Automat erstmalig in den sechziger Jahren „in silico“, das heißt im Computer, simuliert werden konnte, scheint die Perleidechse nun die erste Verkörperung dieses Konzeptes im wahren Leben zu sein.

          Weitere Themen

          Ein fast unverwüstlicher Sechsbeiner

          Robuster Käfer : Ein fast unverwüstlicher Sechsbeiner

          Der diabolische eisengepanzerte Käfer besitzt einen ungewöhnlich stabilen Panzer. Sogar der stärksten Belastung hält er stand. Forscher sind dem Rätsel nachgegangen.

          Topmeldungen

          Hamstereinkäufe : Was, wenn die Nachfrage weiter steigt?

          Im Frühjahr bunkerten die Deutschen vor allem eins: Toilettenpapier. Nun nehmen mit steigenden Infektionszahlen und Beschränkungen auch die Hamsterkäufe wieder zu. Was das für uns bedeutet.
          Einheitsfreude auch in Coronazeiten: Ein schwarz-rot-goldenes Herz am 3. Oktober in Potsdam

          Allensbach-Umfrage : Die Ostdeutschen sind selbstbewusster

          Die deutsche Einheit macht langsam Fortschritte. Die gegenseitigen Vorurteile zwischen Ost- und Westdeutschen sind weniger groß, als es in der öffentlichen Debatte oft scheint. Überraschend ist das Selbstvertrauen in den neuen Ländern.
          Neu entdeckt: Ein Paar länglicher Speicheldrüsen umschließt die Verbindung zum Mittelohr.

          Niederländische Forscher : Neues Organ im Rachen entdeckt

          Mediziner eines Krebsforschungsinstituts in Amsterdam sind auf ein neues Organ im Rachen gestoßen. Es besteht aus zwei paarig angeordneten Speicheldrüsen, die noch niemand vorher beschrieben hatte.

          Fernsehduell : Wie kann sich Biden gegen Trump behaupten?

          In der Nacht soll die letzte Fernsehdebatte im amerikanischen Präsidentenwahlkampf stattfinden. Voriges Mal konnte Joe Biden kaum ausreden. Rhetorikprofessor Olaf Kramer erklärt, wie der Demokrat diesmal Donald Trump Paroli bieten kann.

          Newsletter

          Immer auf dem Laufenden Sie haben Post! Abonnieren Sie unsere FAZ.NET-Newsletter und wir liefern die wichtigsten Nachrichten direkt in Ihre Mailbox. Es ist ein Fehler aufgetreten. Bitte versuchen Sie es erneut.
          Vielen Dank für Ihr Interesse an den F.A.Z.-Newslettern. Sie erhalten in wenigen Minuten eine E-Mail, um Ihre Newsletterbestellung zu bestätigen.