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PI-Tag : Ist die Zahl Pi aus mathematischer Sicht normal?

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Bild: FAZ.NET

Auch von den meisten anderen wichtigen irrationalen Konstanten der Mathematik - wie der Eulerschen Zahl, dem natürlichen Logarithmus von 2, der Quadratwurzel aus 2 oder dem Goldenen Schnitt - ist nicht bekannt, ob sie normal sind. Die Chaostheorie dient als Hilfe auf dem Weg zum Beweis.

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          Ähnlich wie die Biologen bei den Lebewesen Pflanzen und Tiere unterscheiden, so teilen die Mathematiker alle Zahlen in rationale und irrationale auf. Die rationalen Zahlen sind dabei die einfachere Gattung. Im täglichen Leben hat man ständig mit ihnen zu tun. Sie lassen sich immer durch einen Bruch darstellen. Schreibt man den Bruch als Dezimalzahl, so hat diese entweder keine Stelle hinter dem Komma (zum Beispiel 2:1=2), eine begrenzte Anzahl von Stellen (5:4=1,25) oder unendlich viele, aber sich periodisch wiederholende Stellen (6:11=0,545454. . .). Andere Möglichkeiten gibt es nicht.

          Die irrationalen Zahlen hingegen sind alle die, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen. Sie haben immer unendlich viele Stellen hinter dem Komma, die sich jedoch niemals periodisch wiederholen. Die bekannteste von ihnen ist die mit dem griechischen Buchstaben Pi bezeichnete Kreiszahl, die das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Ihre ersten Stellen sind 3,14159265. Für Zahlenfetischisten ist es seit Jahrhunderten eine Art Hochleistungssport, möglichst viele Ziffern von Pi zu berechnen. Den Rekord halten zur Zeit die beiden Japaner Yasumasa Kanada und Daisuke Takahashi von der Universität Tokio, die Pi im Jahre 1999 auf 206 158 430 000 Stellen genau bestimmt haben.

          Gleiche Häufigkeit verschiedener Ziffern

          Daß Pi irrational ist, wissen die Mathematiker schon seit mehr als zweihundert Jahren. Was sie jedoch nicht wissen und was sich hartnäckig jedem Zugriff verweigert, ist die Antwort auf die Frage: Ist Pi normal? Unter der Normalität einer irrationalen Zahl versteht man in diesem Zusammenhang eine statistisch gleichmäßige Verteilung der Ziffern auf ihre unendlich vielen Stellen. Das heißt, alle zehn Ziffern von 0 bis 9 müssen in einer normalen Zahl jeweils mit einer zehnprozentigen Häufigkeit auftreten. Aber auch alle hundert Ziffernpaare von 00 bis 99 müssen gleich häufig vorkommen. Und das gleiche muß auch für alle Dreierkombinationen von Ziffern, Viererkombinationen und so weiter gelten. Die Ziffernfolge 1111111 beispielsweise, der Todestag von John Lennon (08121980) und die Anfangsziffern von Pi (3141592) treten folglich gleich oft in jeder normalen Zahl auf. Kodiert man die Klein- und die Großbuchstaben des Alphabets durch die Zahlen von 00 bis 52 und die Satz-, Leer- und Sonderzeichen durch die Zahlen von 53 bis 99, so kann man den auf diese Weise verschlüsselten Text der Bibel unter den Stellen jeder normalen Zahl finden, und das nicht nur ein einziges Mal, sondern beliebig oft. Außerdem taucht jeder andere Text der gleichen Länge genauso oft auf. Überhaupt kann man jedes Buch der Welt, das jemals geschrieben wurde und jemals geschrieben werden wird, unter den Ziffern einer normalen Zahl entdecken.

          Chaostheorie als Hilfe

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