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Die Statistik der Pandemie : Das dicke Ende der Häufigkeitsverteilung

Viele vom Zufall bestimmten Prozesse folgen einer sogenannten Normalverteilung (rot). Dabei sinkt die Wahrscheinlichkeit (senkrechte Achte) der auftretenden Messwerte (waagerechte Achse) mit wachsender Entfernung zu den wahrscheinlichsten Werten schnell gegen Null. Es gibt aber eben auch Prozesse (blau), bei denen auch extreme Werte nie völlig unwahrscheinlich werden. Bild: Illustration F.A.S.

Extremes ist selten – aber nicht immer so selten, wie man es etwa vom Würfeln gewohnt ist. Epidemien zum Beispiel sind da anders. Ist das ein Problem?

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          Catanier siedeln nur ungern, wo ein Plättchen mit einer Zwei, Drei, Elf oder Zwölf liegt. Sind das doch die Augensummen zweier Würfel, die sich am seltensten einstellen, wenn in dem Gesellschaftsspiel „Die Siedler von Catan“ die Erträge ausgewürfelt werden. Diese Zahlen machen sich weit rarer als die nächsthäufigen Vieren, Fünfen, Neunen und Zehnen gegenüber den besonders ertragreichen Sechsen und Achten. Das Gesetz dahinter ist die sogenannte Normalverteilung, und beschrieben wird sie durch die Gaußsche Glockenkurve, die zu den Seiten hin sehr schnell abfällt. Die Enden der Glockenkurve erreichen zwar nie ganz die Nulllinie, doch für normalverteilte Zufallsgeschehen werden die weit vom Glockenscheitel entfernten Ausgänge extrem schnell extrem unwahrscheinlich. Man sagt, diese Verteilung hat dünne Enden, oder auf Englisch: thin tails.

          Ulf von Rauchhaupt

          Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.

          Die dünn endende Normalverteilung tritt so häufig auf, dass selbst viele Statistiker kaum je mit etwas anderem zu tun haben. Die Körpergrößen von Kindern einer Schulklasse sind etwa so verteilt: Es gibt dort kleinere und größere Schüler, aber doch nur äußerst selten welche, die sehr viel kleiner oder sehr viel größer wären als der Durchschnitt.

          Normal betrachtet, gibt es zu viele reiche Leute

          Aber es gibt Phänomene, bei denen das anders ist. Vermögen etwa, wie der italienische Ökonom Vilfredo Pareto (1848 bis 1923) feststellte: Zwar sind reiche Leute seltener als solche mit wenig Geld, aber es gibt deutlich mehr davon, als es geben dürfte, wären Einkommen normalverteilt. Auch die Einwohnerzahlen urbaner Zentren folgt keiner Glockenkurve, andernfalls gäbe es keine Städte von der Größe Kairos oder São Paulos. In allen diesen Phänomenen sind seltener auftretende Fälle im Vergleich zu den häufigeren nicht so selten wie beim Würfeln oder dem Erfassen von Körpergrößen. Extreme Fälle wie Milliardenvermögen oder Megalopolen kommen öfter vor, als es angesichts ihrer extremen Natur zu erwarten wäre. Die Verteilungen haben einen „fat tail“, ein dickes Ende.

          Anfang der vergangenen Woche erschien in „Nature Physics ein kurzer Artikel zweier Finanzstatistiker – Pasquale Cirillo von der Technischen Universität Delft in den Niederlanden und Nassim Nicholas Taleb von der New York University –, in dem sie feststellen, dass auch die Opferzahlen großer Epidemien einer Verteilung mit dickem Ende folgt. Dazu analysierten sie historische Zahlen von insgesamt 72 Epidemien mit jeweils mehr als 1000 Todesopfern, angefangen bei der Attischen Seuche, die in den Jahren 429 bis 426 v. Chr. die Athener heimsuchte, bis hin zu drei noch andauernden Krankheitsausbrüchen, darunter die Covid-19-Pandemie. Die meisten dieser Seuchen forderten einige zehntausend oder hunderttausend Opfer, einige aber kosteten vielen Millionen Menschen das Leben mit dem „Schwarzen Tod“ des ausgehenden Mittelalters als Spitzenreiter. Nach den von den Autoren benutzten Quellen starben daran bis zu 200 Millionen Menschen.

          Nimmt man falsche Verteilung, kann es teuer werden

          Auf diese Daten wenden Cirillo und Taleb nun mathematische Werkzeuge an, um die statistische Natur großer Epidemien zu bestimmen. Ihr Ergebnis, dessen Robustheit gegenüber etwaigen Fehlern in der historischen Überlieferung der Opferzahlen sie sicherstellen, ist eindeutig: Die Verteilung hat ein dickes Ende. Und zwar ein sehr dickes. Es ist so dick, dass die Verteilung an sich keinen Mittelwert mehr besitzt: Man kann also nicht davon sprechen, dass Epidemien im Mittel über alle möglichen großen Seuchen durchschnittlich so und so viele Menschen töten – es ist vielmehr immer mit noch schwereren Seuchen zu rechnen, mit Opferzahlen, die allein durch die jeweils aktuelle Größe der Weltbevölkerung begrenzt sind. Statistisch ähnelten Epidemien daher Kriegen, bei deren Opferzahlen Cirillo und Taleb in einer früheren Arbeit Ähnliches festgestellt hatten.

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