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Geometrie : Napoleons Theorem

„Der Satz des Napoleon“: Man betrachte ein Dreieck (dunkelbraune Fläche) und konstruiere über seinen Seiten drei gleichseitige Dreiecke (hellbraune Flächen). Dann ist das Dreieck, das deren geometrische Schwerpunkte bilden (weiße Linien), selbst gleichseitig. Bild: Illustration F.A.S.

Ein geometrischer Lehrsatz trägt den Namen des korsischen Feldherrn und Eroberers halb Europas. Könnte er wirklich von ihm stammen? Ein Blick auf Bonaparte und die Mathematik.

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          Er faßte die Gegenstände immer vom richtigen Standpunkt auf, er verstand es sie in ihrer Einfachheit darzustellen, und entwickelte in einer logischen Gedankenfolge seinen Ideengang, bis die Sache klar und faßlich vor Augen lag; dann fand er immer den entsprechenden Ausdruck für die betreffende Sache, und wo die Sprache keinen solchen hatte, schuf er ihn.“ So steht es in einer 1820 verfassten Denkschrift „über den Charakter und die Eigenheiten Napoleons“ aus der Feder des Fürsten Clemens Wenzel Lothar von Metternich. Sie findet sich zusammen mit anderen Schriften Metternichs über den berühmten Korsen in einem Bändchen, das der Wiener Braunmüller-Verlag zum heutigen 250. Geburtstags Napoleon Bonapartes herausgebracht hat. Als Außenminister des Kaisertums Österreich seit 1809 hatte Metternich viel mit dem Franzosenkaiser zu tun und ist dennoch eines unkritischen Urteils über denselben unverdächtig. Zugleich aber passt die zitierte Beschreibung bestens zu dem Ruf Napoleons als eines begabten Mathematikers.

          Seinen Prüfer in Mathe machte der zum Minister

          Ulf von Rauchhaupt
          Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.

          War er das? Dafür, dass der Feldherr tatsächlich ein großer Freund der Zahlen und Figuren war, gibt es viele Belege. Als Kind brillierte er im Fach Mathematik – ganz anders als in den Sprachen. Als er nach der Schule zum Militär ging, soll man ihm seiner mathematischen Begabung wegen eine Laufbahn als Marineoffizier nahegelegt haben. Er landete dann allerdings bei der Artillerie, wo solches Talent aber ebenfalls gefragt war. Wie talentiert er war, lässt sich vielleicht auch an seinem Verhältnis zu Pierre Simon Laplace ablesen, einem der bedeutendsten Mathematiker seiner Zeit. Laplace hatte dem Sechzehnjährigen an der École militaire das Examen abgenommen. Als Napoleon 1799 an die Macht kam, ernannte er Laplace zum Innenminister. Allerdings war der Gelehrte damit derart überfordert, dass er nach wenigen Wochen wieder abgelöst werden musste. Trotzdem blieb er in Napoleons Gunst und wurde sogar zum Marquis de Laplace geadelt.

          Auch sonst waren Mathematik und empirische Wissenschaften unter Bonaparte wohlgelitten. Auf seinem Ägypten-Feldzug zwischen 1798 und 1801 begleiteten ihn mehr als 150 Gelehrte, darunter auch zwei später berühmte Mathematiker: Gaspard Monge, der Vater der Differentialgeometrie, wurde Leiter des Institut d’Égypte in Kairo, und Joseph Fourier fungierte während der kurzlebigen französischen Präsenz am Nil als Gouverneur von Unterägypten. Darüber hinaus interessierte sich Napoleon für aktuelle Entwicklungen und unterhielt sich mit professionellen Mathematikern darüber. Dokumentiert ist das zumindest aus dem Jahr 1797, als der Italiener Lorenzo Mascheroni bewiesen hatte, dass jede mit Zirkel und Lineal mögliche Konstruktion auch allein mit einem Zirkel ausgeführt werden kann. Der Däne Jørgen Mohr hatte das zwar schon 1672 gezeigt, doch war es wieder in Vergessenheit geraten.

          Der Kaiser mochte Mathe.
          Der Kaiser mochte Mathe. : Bild: AFP

          Aber hat sich Napoleon selbst über das Anstellen von artilleristischen Berechnungen hinaus als Mathematiker betätigt, und sei es nur zur Freizeitgestaltung? Nun gab es für einen Mann, der sich selbst zum Essen und Schlafen kaum Zeit genommen haben soll, hier wohl nicht übermäßig viel zu gestalten. Andererseits könnte sich sein aktives Interesse auf ganz bestimmte Themen der elementaren Geometrie beschränkt haben – zu einer Zeit, als die Differential- und Integralrechnung bereits weit entwickelt war, ihre Anwendung auf geometrische Probleme begann und man bereits mit komplexen Zahlen rechnete.

          Dies legt der Umstand nahe, dass sein Name später allein mit solchen Problemen der elementaren Geometrie in Verbindung gebracht wurde: Wie findet man, allein mit einem Zirkel, das Zentrum einer Kreislinie? Wie teilt man, ebenfalls nur mit einem Zirkel, eine Kreislinie in vier gleiche Bögen? Tatsächlich gibt es sogar ein Theorem, das Napoleons Namen trägt (siehe Abbildung oben): Die geometrischen Schwerpunkte der gleichseitigen Dreiecke über den Seiten eines beliebigen Dreieckes bilden selbst ein gleichseitiges Dreieck. Der Schnittpunkt der Geraden durch die drei Schwerpunkte und die jeweils gegenüberliegenden Ecken des Ausgangsdreiecks wird auch als „erster Napoleonpunkt“ des Dreiecks bezeichnet. Der Satz gilt auch dann, wenn man die drei gleichseitigen Dreiecke nach innen anstatt nach außen auf dem Ausgangsdreieck konstruiert. Und auch dann schneiden sich die Geraden durch die jeweiligen Schwerpunkte und die gegenüberliegenden Ecken des Ausgangsdreiecks. Ihr Schnittpunkt ist der „zweite Napoleonpunkt“.

          Das Theorem stand zuerst in einer Frauenzeitschrift

          Tatsächlich ist das fragliche Theorem erst vier Jahre nach dem Tod des abgesetzten Kaisers zum ersten Mal belegt: Der britische Mathematiker William Rutherford stellte es 1825 in der Zeitschrift „The Ladies’ Diary“ vor, einem Almanach mit dem Untertitel „Containing New Improvements in Arts and Sciences, and many entertaining Particulars: Designed for the Use and Diversion of the fair sex“. Rutherford forderte die Leser(innen) auf, Beweise für den Satz einzusenden, und bereits im Jahr darauf liegen mindestens sieben solcher Beweise vor – keiner der Einsender trägt übrigens einen weiblichen Vornamen. Von Napoleon ist dabei keine Rede. Dessen Name taucht in Verbindung mit dem Theorem erst 1867 auf, im Eintrag zum Stichwort „Triangle“ (Dreieck) in der Chalmers’ Encyclopedia, Band IX (Sou–Vit), Seite 538. Alison Taubman, Kuratorin an den National Museums Scotland in Edinburgh, wo dieses Lexikon noch verfügbar ist, konnte dies dieser Zeitung gegenüber bestätigen.

          Doch bleibt dies die einzige Erwähnung Napoleon Bonapartes in diesem Zusammenhang im ganzen 19. Jahrhundert, in dem das Theorem noch viele Male aufgestellt und bewiesen wurde. „Das ist sicher eines der am häufigsten wiederentdeckten Resultate der Mathematik“, schrieb John E. Wetzel von der University of Illinois in Urbana-Champaign 1992 in einem Fachartikel. Zu einer bleibenden Verbindung zwischen Theorem und Napoleon kam es aber offenbar erst 1911 durch die 17. Auflage des Lehrbuchs „Elementi di Geometria“ des in Venedig lehrenden Mathematikprofessors Aureliano Faifofer. Dort fügte der Bearbeiter jener Auflage – Faifofer selbst war 1909 gestorben – die Bemerkung ein, jenen Lehrsatz habe Napoleon einem anderen großen Mathematiker seiner Zeit, Joseph-Louis Lagrange, zum Beweis vorgelegt. Irgendeinen Beleg dafür hat kein Mathematikhistoriker bisher gefunden.

          „Nicht mehr als ein Artillerie-Offizier wissen muss“

          Nichtsdestotrotz schreibt dies nun seit 1911 ein Autor vom anderen ab, und inzwischen hat der Satz sein fragwürdiges Etikett sogar noch seiner Verallgemeinerung vererbt: Die Zentren regulärer n-Ecke, die über die Seiten einen n-Ecks P konstruiert sind, bilden dann und nur dann ein reguläres n-Eck, wenn P ein affines Bild eines regulären n-Ecks ist. Das ist das „Theorem von Napoleon-Barlotti“, das der Italiener Adriano Barlotti 1952 aufgestellt hat.

          Ganz auszuschließen ist es natürlich nicht, dass Napoleon Bonaparte bereits auf das, dann aber erst lange nach seinem Tod mit ihm in Verbindung gebrachte, Theorem gestoßen ist. Allerdings wurde auch schon vermutet, dass es bereits im 17. Jahrhundert dem einen oder anderen Gelehrten aufgefallen sein könnte. Möglicherweise kannten es schon die alten Griechen – nur der Nachweis dafür fehlt eben, genauso wie bei Napoleon Bonaparte. Hätte dessen mathematische Begabung denn für solch eine Einsicht ausgereicht? Fürst Metternich wäre vermutlich skeptisch gewesen. „Napoleon war kein Mann der Wissenschaft“, schreibt er. „Seine Verehrer suchten die Meinung zu verbreiten als sei er ein tüchtiger, ein gelehrter Mathematiker gewesen. Seine mathematischen Kenntnisse erhoben ihn nicht über das, was jeder geschulte Artillerie-Offizier wissen muß; aber seine natürlichen Anlagen ersetzten ihm oft den Mangel an Wissen.“

          Literatur:

          „Fürst Metternich über Napoleon Bonaparte“, Braunmüller, Wien 2019.
          Günter Müchler, „Napoleon: Revolutionär auf dem Kaiserthron“, wgb Theiss 2019.

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