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Mathematik : Bloß nicht an diese Medaille denken!

Ein Leben für die Boltzmann-Gleichung: Cédric Villanis Lieblingsformel ist lange noch nicht ausgeforscht Bild: Isabel Klett

In einem ungewöhnlichen Buch berichtet der Franzose Cédric Villani aus seinem Leben als Spitzenmathematiker. Eine Begegnung.

          7 Min.

          “Ich mag meinen Namen“, sagt der schlaksige Mann im Dreiteiler. Wie immer trägt er eine Lavallière, eine weiche Schleifenkrawatte, heute in Grün, und eine Brosche in Form einer Spinne, diesmal ein eher einfaches Modell aus Messingdraht und Glasperlen. „Es ist diese Zusammenstellung, Cédric ist ein angelsächsischer Königsname, und Villani verweist auf eine sehr bescheidene Herkunft, es ist das italienische Wort für Landarbeiter.“ Aus Italien stammt ein Teil seiner Familie, der Großvater wurde in Neapel geboren.

          Ulf von Rauchhaupt
          Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.

          Aussagen wollen eben begründet sein, wie Theoreme bewiesen werden müssen. Dabei hat Cédric Villani sichtlich Spaß an der romantisch-künstlerhaften Erscheinung, die er pflegt, aber er ist eben Mathematiker - und nicht irgendeiner. Mit 28 wurde er Professor an der École normale supérieure de Lyon und mit 37 zudem Direktor des Institut Henri Poincaré in Paris. Und seit 2010 ist er Träger der Fields-Medaille, die auch als Nobelpreis der Mathematik bezeichnet wird, obwohl sie deutlich schwerer zu bekommen ist, da sie nur alle vier Jahre und nur an Personen unter 40 verliehen wird.

          Ein Heldenepos in LaTeX

          Über sein Arbeitsleben der Jahre 2008 bis 2010, dessen wissenschaftlicher Ertrag ihm diese Ehrung einbrachte, hat Villani im vergangenen Jahr ein Buch geschrieben, das in Frankreich ein Hit wurde und das dieser Tage unter dem Titel „Das lebendige Theorem“ auf Deutsch erschienen ist. Es ist ein literarisches Projekt; das Thema ist archaisch. Es gibt den Helden und seinen Gehilfen - Villanis ehemaliger Schüler Clément Mouhot, der heute in Cambridge lehrt. Sie ziehen aus, um den Drachen zu besiegen, der hier die Gestalt eines vertrackten mathematischen Problems hat. Statt einer Prinzessin winkt die Fields-Medaille, an die der Held aber im Angesicht des Ungetüms keinesfalls denken darf - Mathematiker verhalten sich in solchen Dingen abergläubischer als die Ritter des Mittelalters.

          Die Form der Saga ist allerdings modern: eine Collage aus tagebuchartigen Notizen, wissenschaftlichen Textauszügen inklusive seitenlanger Formelfolgen und E-Mails, die zum Teil ebenfalls voller Formeln sind, und zwar in Gestalt von Befehlen der Computersatz-Software LaTeX. Denn seit Anbruch des E-Mail-Zeitalters nutzen Wissenschaftler, die sich quantitative Argumente mitzuteilen haben, LaTeX-Code auch dazu, dies allein mit Zeichen der Tastatur zu tun. Emoticons finden sich bei Villani keine, sieht man von der Zeichenfolge „@!*#“ ab, von der jeder Comicleser weiß, wie trefflich sie ein wertendes Adjektiv ersetzen kann.

          Kein Käse in Princeton

          Erklärt wird in alledem so gut wie gar nichts. Die wenigen mathematischen Erläuterungen, die Villani gibt, erfordern Vorkenntnisse und haben nicht näher mit dem Theorem zu tun, mit denen der Held und sein Knappe ringen. „Ich wollte nicht, dass der Leser durch Bemühung, die Mathematik zu verstehen, von der Geschichte abgelenkt wird“, sagt Cédric Villani. Die Geschichte, das ist die seines Arbeitsalltags, und wenn sie auch nichts erklärt, wird doch viel gezeigt. Insofern handelt es sich beim „Lebendigen Theorem“ eben doch um ein Sachbuch. Villani, der seiner Disziplin in Frankreich ein Gesicht gegeben hat, lässt die Leser einfach einmal dabei zugucken, wie es so zugeht unter den Spitzenmathematikern unserer Zeit. Wie es ist, Tage und Nächte mit Termen und Indices zu hadern, wie es sich anfühlt, nach großen Mühen einen 180-Seiten-Beweis bei einer Fachzeitschrift eingereicht zu haben und dann zu erfahren, dass die Veröffentlichung abgelehnt wird. Oder Villani zeigt, wie angenehm sein Aufenthalt am Institute for Advances Studies in Princeton war - und wie viel besser er hätte sein können, wenn man in New Jersey vernünftigen Käse bekäme. Und schließlich lässt Villani seine Leser auch an seiner Freude teilhaben, als er die Fields-Medaille, das Objekt der verbotenen Sehnsucht, am Ende dann doch bekommt.

          “Das lebendige Theorem“ ist also mehr ein sinnliches Erlebnis als ein intellektuelles. Dabei ist Villanis Forschungsgegenstand gar nicht so außerweltlich wie manch anderer, mit dem sich Mathematiker befassen. Die Objekte, die er untersucht, sind sogenannte partielle Differentialgleichungen. Wie Gleichungen der Schulmathematik, also etwa „x²-4=0“, sind das Aussagen, die nur für bestimmte Lösungen richtig sind. Statt Zahlen (im obigem Fall x=+2 und x=-2) sind die Lösungen von Differentialgleichungen nun ganze Funktionen f(x), und partielle Differentialgleichungen haben als Lösungen Funktionen mit mehreren Variablen, also etwa f(x, v). In den Naturwissenschaften, vor allem in der Physik, geht es sehr oft darum, Lösungen partieller Differentialgleichungen zu finden oder zumindest etwas über ihre Eigenschaften herauszufinden. Mathematik geht hier stufenlos in mathematische Physik über.

          Vom Spätentwickler zum Maî­t­re de Plai­sir

          “Dass ich da gelandet bin, war eher ein Zufall“, beteuert Villani jetzt im Gespräch. „In der Schule war ich in Physik gar nicht besonders gut. An Mathematik dagegen hatte ich großen Spaß. Meistens jedenfalls, es kam auch auf die Lehrer an. Abgesehen davon war ich ein Spätentwickler; ich war oft krank, hatte wenig Freunde und hing auch nicht mit Mädchen herum.“ All das ändert sich, als der Sohn eines Literaturdozentenpaares aus der südfranzösischen Provinz nach Paris kommt, um an der École normale supérieure Mathematik zu studieren. Plötzlich wird er zum Studentensprecher gewählt, organisiert mit großem Erfolg Partys, hadert zwischenzeitlich mit dem Studium und damit, ob er nicht doch lieber Pianist werden sollte - und landet schließlich bei der mathematischen Physik.

          Den Ausschlag gibt sein Interesse für Analysis und die Überzeugungskraft eines Dozenten für partielle Differentialgleichungen, auf die er sich nun spezialisiert. Er befasse sich mit physikalischen Problemen, weil er sie mathematisch interessant finde. Bei vielen seiner Kollegen sei das anders herum, sagt Villani, etwa bei Felix Otto vom Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig, mit dem er zusammenarbeitet. „Der hat eine echte physikalische Intuition und entwickelt aus ihr seine mathematischen Ideen.“

          Eine Gleichung für die gesetzmäßige Unordnung

          Wenn Cédric Villani trotzdem oft als „Mathematiker und Physiker“ vorgestellt wird, dann liegt das daran, dass er heute als der Experte für eine bestimmte partielle Differentialgleichung gilt, die im 19. Jahrhundert von den beiden Gründervätern der statistischen Physik aufgestellt worden war, dem Schotten James Clerk Maxwell und dem Österreicher Ludwig Boltzmann. Sie beschreibt, wie sich ein Gas verhält, dessen Moleküle durch die Gegend schwirren und sich dabei fortwährend aneinander stoßen wie winzige Billardkugeln. Dabei stellt man sich vor, dass die Kollisionspartner nach dem Stoß in zufällige Richtungen davonspratzen, da nicht das Schicksal einzelner Moleküle interessiert, sondern der Mittelwert über sehr viele dieser Teilchen. Nach Boltzmann ist diese Gleichung benannt, denn er konnte damit anno 1872 erklären, was genau hinter einer physikalischen Größe namens Entropie steckt, die in der Wärmelehre etwa dafür sorgt, dass eine Tasse Kaffee Wärmeenergie an die umgebende Luft zwar abgibt, diese aber nicht wieder in den Kaffee zurückkehrt, obgleich der Satz von der Erhaltung der Energie das erlauben würde. Es ist diese Boltzmann-Gleichung, aus der folgt, dass die Stöße der Atome deren Unordnung erhöhen und die Entropie nichts anderes ist als ein Maß dieser Unordnung, aus der, wie jeder aus seiner Alltagserfahrung weiß, von alleine eben keine Ordnung werden kann.

          Die Boltzmann-Gleichung gehört zu einer Gruppe partieller Differentialgleichungen, die das kollektive Verhalten von Materie beschreiben (siehe „Harte Nüsse für Physiker“). Sie sind daher auch von eminentem praktischem Interesse, geben den Mathematikern aber noch immer große Rätsel auf. Im Falle der Boltzmann-Gleichung war zum Beispiel lange nicht klar, ob sich eine beliebige Verteilung der Gasmoleküle in jedem Fall rasch zu einer Gleichgewichtsverteilung, der sogenannten Maxwell-Boltzmann-Verteilung entwickelt. Dieser Beweis war Villani zusammen mit einem Kollegen gelungen und war ein Grund, warum er mit der Fields-Medaille geehrt wurde.

          Bekommen Plasmateilchen wirklich immer einen Dämpfer?

          Dabei nannte die Jury eine andere Arbeit an erster Stelle, um ihre Wahl zu begründen. In dieser geht es nicht um die Boltzmann-Gleichung, sondern um eine verwandte, auf den ersten Blick einfachere Formel, die Wlassow-Gleichung. Auch sie beschreibt ein Gas, doch diesmal sind keine Stöße zwischen den Gasteilchen vorgesehen. Dafür sind die Teilchen elektrisch geladen, - die einen negativ, die anderen positiv - es handelt sich um ein sogenanntes Plasma. Da die Teilchen keine Billardstöße mit im Mittel zufälligem Ausgang mitmachen, sondern sich nur durch das Abstoßen und Anziehen vermöge ihrer elektrischen Ladungen ganz vorhersagbar beeinflussen, ändert sich bei einem von der Wlassow-Gleichung regiertem Plasma nichts am Grad der Unordnung des Ganzen, es gibt keine Zunahme der Entropie. Trotzdem kommt es zu einem seltsamen Effekt: Eine kleine Störung im Plasma verschwindet nach einer gewissen Zeit wieder. Das jedenfalls fand der sowjetische Physiker Lev Davidowitsch Landau im Jahr 1946 durch theoretische Analyse der Wlassow-Gleichung heraus. Allerdings verwendete er ein Verfahren, mit dem nicht gesichert ist, dass diese sogenannte Landau-Dämpfung in jedem Fall eintritt. Dass sie es doch tut, konnten Villani und Mouhot 2009 beweisen - und dabei kann man ihnen im „Lebendigen Theorem“ zuschauen.

          Der eine oder andere Leser würde vielleicht gerne mehr darüber erfahren, warum die Menschheit wissen muss, dass jede kleine Störung in einem Plasma der Landau-Dämpfung erliegt. Kommt man denn damit der Energiegewinnung durch Plasmafusion näher? Aber das Buch will ja zeigen, was den Mathematiker beschäftigt. Grundlagenforschung könne zwar immer auch Nutzen bringen, sagt Cédric Villani. Aber man sollte darauf nicht zu sehr herumreiten, Mathematik sei vor allem anderen zunächst einmal eine Kulturleistung.

          Krasses Outfit? In Prag laufen auch Büromenschen so herum.

          Auch über den Menschen Cédric Villani lernt der Leser des „Lebendigen Theorems“ weniger, als man bei einem so extrovertiert auftretenden Mann erwarten würde, der sich vor laufender Fernsehkamera als „Lady Gaga der Mathematik“ bezeichnet. Es ist zu lesen, dass er Musik liebt und welche das ist, dass seine Frau Biologin ist und sie zwei Kinder haben. Wenn Villani etwas wirklich Persönliches preisgibt, dann nur subtil wie bei der Frage, welche Reaktionen sein Äußeres hervorrufe. „Auf dem Weg von Oberwolfach (einer Begegnungsstätte für Mathematiker im Schwarzwald) machten Passanten große Augen wegen meines Aufzugs“, schreibt er. „Aber in Prag könnte ich fast als Wirtschaftsprüfer durchgehen.“

          Schließlich kommt die Sprache auf Grigori Perelman, jenen russischen Mathematiker, der 2002 fast im Alleingang die berühmte Poincaré-Vermutung bewiesen hatte, dafür 2006 die Fields-Medaille bekommen sollte, sie aber ablehnte wie auch alle anderen Ehrungen und Angebote davor und danach. Im Gespräch will Villani keinen Zweifel daran lassen, wie sehr er Perelmans Leistung bewundere. „Wenn jemand in unserer Zeit Mathematikgeschichte geschrieben hat, dann er“, sagt Villani und schüttelt den Kopf bei der Frage, ob die Zunft es dem Russen denn übel nähme, dass er einfach abgetaucht sei, sein Talent nicht weiter nutze und eher das Vorurteil bestätige, Mathematiker seien seltsame Leute: „Da gab es noch wesentlich seltsamere als Perelman.“

          Im Buch allerdings, an der Stelle, wo ihn der Anruf mit der Nachricht erreicht, dass er 2010 die Fields-Medaille bekommen soll, da räsoniert Villani über mögliche Sorgen des Preis-Kommitees, es könne noch ein ausgewählter Preisträger ablehnen. „Aber“, notiert Villani, „ich bin weit von Perelmans Niveau entfernt, und ich nehme an, ohne mich zu zieren.“

          Literatur: Cédric Villani, „Das lebendige Theorem“. S. Fischer, 304 S. 19,99 Euro.

          Harte Nüsse für Physiker: partielle Differentialgleichungen

          Ein Liter Luft enthält zehn hoch 28 Moleküle. Solche Teilchenmengen lassen sich nur noch im Kollektiv beschreiben. Mathematisch geschieht dies durch sogenannte partielle Differentialgleichungen. Die prominentesten sind:

          Die Boltzmann-Gleichung gilt für verdünnte Gase, zwischen denen keine langreichweitigen Kräfte wirken, etwa solche, die durch elektrische oder magnetische Felder bewirkt werden.

          Die Wlassow-Gleichung ist für ein Plasma aus geladenen Teilchen zuständig, zwischen denen elektromagnetische Felder wirken, ohne dass sich die Teilchen berühren. Hier kommt es zur sogenannten Landau-Dämpfung, über die Cédric Villani geforscht hat.

          Die Wlassow-Poisson-Gleichung gilt etwa für Teilchen, zwischen denen Gravitationskräfte wirken, also etwa die Sterne einer Galaxie. Ob es hier ein der Landau-Dämpfung analoges Phänomen gibt, ist Gegenstand aktueller Forschung.

          Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben Flüssigkeiten und dichte Gase. Ob sie im allgemeinen Fall immer Lösungen hat und diese frei von Knicken sind, das ist eine der zehn großen Fragen der Mathematik, für deren Lösung die amerikanische Clay-Stiftung eine Million Dollar ausgesetzt hat.

          Die Euler-Gleichungen sind ein Spezialfall für Fluide ohne innere Reibung und Wärmeleitung. Trotzdem stellen sie die Mathematiker vor noch größere Rätsel als die Navier-Stokes-Gleichungen.

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