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Mathematiker Peter Scholze : Räume, die vor ihm niemand sah

Ein Hit, trotz des doch eher kleinen Leserkreises: Ausriss aus Peter Scholzes epochaler Arbeit „Perfectoid Spaces“ von 2011. Vor allem dafür bekam er jetzt die Fields-Medaille. Bild: F.A.S.

Wofür hat der Mathematiker Peter Scholze eigentlich die Fields-Medaille bekommen? Ein Erklärungsversuch.

          7 Min.

          Wer wenigstens eine Ahnung davon bekommen möchte, worum es Peter Scholze geht, sollte sich die Aufzeichnung seiner Vorlesung zum Bonner dies academicus vom Mai vergangenen Jahres ansehen. Es ist so ziemlich der einzige seiner zahlreichen online verfügbaren Vorträge, den er auf Deutsch gehalten hat. Aber das ist nicht der Grund, warum man als Nichtfachmann dort mehr, das heißt: überhaupt etwas versteht. Vielmehr ist der junge Mathematikprofessor hier bestrebt, sich einem breiteren Publikum mitzuteilen. Dabei bringt er es über sich, Sätze zu sagen wie: „Die ganzen Zahlen kann man sich vorstellen als Funktionen in einem dreidimensionalen Raum. Und die Primzahlen entsprechen Knoten in einem dreidimensionalen Raum“, um gleich anzufügen: „Es ist unklar, was das überhaupt heißen soll. Man darf diese Aussage auf keinen Fall zu wörtlich nehmen.“

          Ulf von Rauchhaupt

          Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.

          Wie man es denn dann nehmen soll, das ist das Problem. Die moderne Mathematik erforscht ein gewaltiges Universum aus immateriellen Strukturen, die oft aufeinander aufbauen oder anderweitig konzeptionell zusammenhängen. Die Mathematiker geben ihnen Namen, wie das auch andere Forscher mit ihren Gegenständen tun. Aber wenn Botaniker oder Planetologen mit Begriffen wie „Chloroplast“ oder „Ionosphäre“ mitunter auch recht exotische und komplexe Dinge erfassen, kann jeder, der hinreichend Geduld aufbringt, sie sich erklären lassen, ohne gleich das Fach studiert haben zu müssen. Denn meist ist man in wenigen Erklärschritten bei Dingen angelangt, unter denen man sich etwas vorstellen kann, weil sie aus dem Alltag oder zumindest der Schule bekannt sind.

          Mehr als nur ein guter Mathematiker

          In der modernen Mathematik aber wären statt Schritten oft ganze Weltreisen zu unternehmen. Und die Sache wird nicht einfacher dadurch, dass viele mathematische Begriffe ihre Namen Alltagskonzepten wie „Raum“ oder „Funktion“ entlehnen, mit denen sie, wenn überhaupt, nur noch sehr entfernt etwas zu tun haben. Mathematiker müssen einen ganzen Kosmos solcher Konzepte samt ihrer Eigenschaften überblicken, und gute Mathematiker sehen dort hin und wieder neue Beziehungen, mit denen sich Fragen über alte Beziehungen einfacher oder überhaupt erst beantworten lassen. So kommt Scholze in besagtem Vortrag auf die Lösungen quadratischer Gleichungen zu sprechen, auf Primzahlen und auf räumliche Objekte. Alles drei kennt man aus der Schule, wo sie aber nie etwas miteinander zu tun haben. Dass da durchaus ein Zusammenhang besteht, kann auch Scholze seinem nichtmathematischen Publikum keineswegs demonstrieren, sondern nur referieren, am Ende gar nur vage andeuten. Doch kann allein die Mitteilung über die Existenz derartiger Zusammenhänge Anlass zum Staunen sein.

          Scholze ist mehr als nur ein guter Mathematiker. Mit 24 promovierte der heute 30-Jährige, noch im selben Jahr wurde er Professor an der Universität Bonn, erhielt zahlreiche wissenschaftliche Auszeichnungen, darunter den Leibnizpreis, ist seit diesem Jahr auch Direktor am Bonner Max-Planck-Institut für Mathematik und seit vergangenem Mittwoch, zusammen mit drei Fachkollegen aus Princeton, Zürich und Cambridge, Träger der Fields-Medaille, der höchsten Auszeichnung seiner Zunft. Berücksichtigt man alles, was Insider schon seit Jahren über ihn sagen, dann ist er in seinem Forschungsgebiet der Beste der Welt.

          Das Gebiet nennt sich „algebraische Geometrie“. Wer nun denkt, so etwas gibt es doch gar nicht, ist in guter Gesellschaft. „Es ist also nicht zulässig, beim Beweisen von einem Gebiet in ein anderes überzugehen, zum Beispiel das Geometrische mittels der Arithmetik zu beweisen“, schreibt Aristoteles in seiner „Zweiten Analytik“. Wie soll das auch gehen? Die Arithmetik ist die Lehre von den Zahlen und die Basis der Algebra, der Lehre von den Rechenoperationen. Geometrie dagegen hat mit räumlichen Objekten zu tun: Punkten, Geraden, Flächen. Nun haben geometrische Objekte zwar Eigenschaften, die sich numerisch ausdrücken lassen – Länge, Flächeninhalt oder Volumen. Damit aber gehörten sie zu Zeiten des Aristoteles zur Geometrie: Eine quadrierte Größe etwa war damals nichts anderes als ein Quadrat mit einer entsprechenden Seitenlänge. Diese kann kontinuierliche Werte annehmen, während Zahlen im eigentlichen, arithmetischen Sinne für die alten Griechen nur das waren, was wir heute die natürlichen Zahlen nennen: 1, 2, 3 und so weiter. Diese aber sind, wie der Name schon sagt, zum Zählen da, also zur Beschreibung diskreter Ansammlungen. Erlaubt man auch sogenannte rationale Zahlen, also Brüche mit ganzen Zahlen in Zähler und Nenner, ändert sich an den aristotelischen Vorbehalten nicht viel – sie können das der klassischen Geometrie mögliche Kontinuum nicht erfassen, was man etwa daran erkennt, dass sich im Allgemeinen weder die Diagonale eines Rechtecks noch der Umfang eines Kreises als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt.

          In den reellen Zahlen dagegen, die heute jeder in der Schule lernt, ist es nicht schwer, auf Objekte zu stoßen, die sowohl in Geometrie als auch in einer zur Algebra erweiterten Zahlenlehre zu Hause sind. Etwa die Formel x² + y²  = 1. Algebraisch betrachtet, ist das eine Gleichung mit zwei Unbekannten x und y. Fasst man diese aber als kartesische Koordinaten auf, dann beschreibt jene Formel einen Kreis mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt am Ursprung: Alle Punkte mit Koordinaten x und y, für welche die Gleichung richtig ist, liegen auf diesem Kreis. Insofern sich im Grunde beliebige algebraische Gleichungen als Beschreibungen geometrischer Objekte auffassen lassen (im Allgemeinen in höheren Dimensionen als den drei des gewöhnlichen Raumes), ist eine solche algebraische Geometrie nichts übermäßig Exotisches.

          Algebraische und arithmetische Geometrie

          Anders sieht es aus wenn die algebraische Geometrie arithmetisch bleiben soll, also mit ganzen oder höchstens rationalen Zahlen operiert. Das dafür zuständige mathematische Gebiet heißt Zahlentheorie, und hier hinein gehört das berühmte Theorem, wonach die Gleichung xⁿ+yⁿ =zⁿ für positive ganzzahlige x, y, z und n keine Lösung hat, wenn n größer ist als 2. Dies war schon um 1640 herum von Pierre de Fermat vermutet, aber erst 1994 von dem Briten Andrew Wiles in einem monumentalen Beweis als wahr erwiesen worden, bei dem ihn sein Landsmann Richard Taylor unterstützt hatte. Wiles nutzte dazu auch geometrische Konzepte wie die sogenannten elliptischen Kurven.

          Die ungeheure Prominenz der Fermatschen Vermutung demonstrierte damit einerer breiteren Öffentlichkeit, was für ein Potential in einer arithmetischen algebraischen Geometrie steckt. Dabei hatten bereits die Arbeiten der Franzosen André Weil (1906–1998) und insbesondere Alexander Grothendieks (1928–2014) die Vermutung genährt, dass sich die Primzahlen – sozusagen die Elementarteilchen der Zahlentheorie – als Punkte einer genuin geometrischen Struktur enthüllen könnten, einem Gebilde namens Spec(ℤ). Wie der amerikanische Mathematiker Michael Harris in seinem Blog schreibt, hoffen die Zahlentheoretiker damit eines Tages auch ein Problem zu knacken, das nicht ganz so einfach zu erklären ist wie Fermats Vermutung, dessen Lösung aber von derart enormer Bedeutung wäre, dass auch viele Nichtmathematiker davon schon gehört haben: der Beweis der sogenannten Riemannschen Vermutung.

          Da bleiben noch Ziele: Peter Scholz in seinem Bonner Büro.

          „Ganz so weit ist Peter Scholze noch nicht“, schreibt Harris. Doch seine Arbeiten böten verlockende Hinweise darauf, wie Spec(ℤ) konstruiert werden könnte. Was Scholze geleistet hat, ist die Formulierung einer bestimmten arithmetischen Geometrie, in der Gleichungen nicht wie in xⁿ+yⁿ =zⁿ für ganze Zahlen x, y, z gelten, sondern für einen anderen, ziemlich merkwürdigen Zahlentyp, die sogenannten p-adischen Zahlen. Das „p“ steht hier für eine Primzahl, also eine natürliche Zahl größer 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Es gibt also 3-adische Zahlen, 5-adische, 7-adische, 11-adische und so fort. p-adische Zahlen verhalten sich insofern wie andere Zahlen, als es auch unter ihnen das Konzept der Nähe gibt: Eine p-adische Zahl kann einer anderen näher sein als einer dritten. Doch die Nähe ist hier von völlig anderer Art: Zwei p-adische Zahlen sind sich umso näher, je häufiger ihre Differenz durch p teilbar ist. Zum Beispiel sind sich in den 7-adischen Zahlen 2 und 28814 viel näher (genauer: 2401mal näher) als 2 und 3.

          Perfektoide Räume

          Entfernungen zwischen Punkten sind Bausteine geometrischer Strukturen, aber eine p-adische Geometrie hat infolge des anderen Entfernungsbegriffs mit gewöhnlicher Geometrie nicht mehr viel zu tun. Auch nicht mit den ja ebenfalls gewöhnungsbedürftigen Geometrien höherer Dimensionen oder solchen, die gekrümmte Räume beschreiben. Trotzdem ist sie nicht so verrückt, dass dergleichen nicht schon länger von Mathematikern studiert worden wäre. Peter Scholze aber hat nun einen besonderen Typ p-adischer Geometrien gefunden, die er „perfektoide Räume“ genannt hat.

          Schon aufgrund ihres p-adischen Fundaments haben sie mit den mathematischen Räumen, mit denen etwa Physiker operieren – Vektorräumen zum Beispiel –, kaum etwas gemein. Dennoch – oder gerade deswegen – erwiesen sie sich als eine sehr mächtige Entdeckung. „Das Konzept wurde rasch von Forschern auf der ganzen Welt aufgenommen“, schreibt die Mathematik-Journalistin Allyn Jackson in dem Begleittext zur Verleihung der Field-Medaille an Scholze auf der Website der International Mathematical Union. „Es gilt ihnen als genau das Richtige, um eine Vielfalt von Phänomenen zu klären und neues Licht auf Probleme zu werfen, die sich jahrzehntelang der Lösung entzogen hatten.“

          Den Grund dahinter deutet Michael Harris mit dem Hinweis auf eine Analogie zwischen p-adischen Zahlen und Funktionen an, wie man sie aus der Schule kennt. Eine solche lässt sich als sogenannte Taylor-Reihe darstellen, das heißt als Summe: f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ +... mit einer für die Funktion spezifischen Folge reeller Zahlen an. Eine p-adische Zahl kann nun in einer ähnlichen Form geschrieben werden, nämlich a₀ + a₁p + a₂p² + a₃p³ +..., nur, dass die Koeffizienten an nun ganze Zahlen sind und die p die jeweilige Primzahl. „Die beiden Ausdrücke haben völlig verschiedenen Charakter“, schreibt Harris. Während x eine Variable ist und daher unendlich verschiedene Werte annehmen kann, um so eine geometrische Figur nachzuzeichnen, ist p konstant und die p-adische Formel reine Algebra. „Das Ziel der perfektoiden Geometrie“, so Harris, „ist es, die Konstante p sich wie eine Variable verhalten zu lassen. Damit kann man dann geometrische Methoden auf die p-adischen Zahlen anwenden – und von dort aus auf die übrige Zahlentheorie.“

          Die Aussicht darauf beglückt die in diesem Gebiet arbeitenden Mathematiker seit Scholzes Entdeckung der perfektoiden Räume. Mit ihnen erscheint der Traum einer fundamentalen Überwindung der aristotelischen Kluft zum Greifen nah, ein Traum, dessen mögliche Erfüllung André Weil 1940 in einem Brief an seine Schwester, die Philosophin Simone Weil, allerdings auch eine melancholische Seite abgewann: „Mathematiker haben gewagt“, so zitiert Harris daraus, „sich ebenso besorgt wie beglückt von einer Analogie leiten zu lassen. Nun sind beide Theorien fort. Fort ihre Konflikte und ihre köstlichen gegenseitigen Betrachtungen, ihre heimlichen Liebkosungen, ihre unerklärlichen Streitereien; ach, alles ist nur eine Theorie, deren majestätische Schönheit uns nicht mehr erregen kann. Nichts ist fruchtbarer als es diese leicht ehebrecherischen Beziehungen sind; Nichts gibt dem Kenner größeres Vergnügen.“

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