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Mathematiker Wojewodski : Wie man das Pferdchen mit dem Einhorn verrechnet

Von vorschnellen Vergleichen wird abgeraten: Äpfel und Birnen Bild: Picture-Alliance

Dank der Lebensarbeit des Mathematikers Wladimir Wojewodski bedeutet das Gleichheitszeichen nicht mehr dasselbe.

          In ungenauer Sprache fällt Gleichmacherei leicht. Die meisten werden nie darüber nachdenken, ob das Fremdwort „äquivalent“ eigentlich dasselbe oder das gleiche bedeutet wie „das gleiche“ oder „dasselbe“. Ein Mann namens Wladimir Wojewodski aber hat in sehr genauer Sprache einen Grundsatz aufgestellt, der als „Univalenzaxiom“ in die Wissensgeschichte eingegangen ist und das Verhältnis zwischen „gleich“ und „äquivalent“ mit zuvor unerreichter Präzision bestimmt. Es geht um hochabstrakte Gegenstände. „Abstrakt“ ist das, was man bekommt, wenn man eine Abstraktionsleistung vollbringt, also gewisse Besonderheiten des Besonderen weglässt. „Das Dreieck“ ist abstrakt: wenn man darüber redet, lässt man weg, ob man an ein Warnsignal oder eine Liebeskatastrophe denkt. Es gibt verschiedene Typen von Dreiecken (gleichseitige und nicht gleichseitige zum Beispiel), während man, wenn man vom allgemeinen Typ „das Dreieck“ die genaue Eckenzahl und anderes weglässt, eine Ebene höher zum Typ „geometrische Figuren in der euklidischen Ebene“ gelangen kann, von dem man dann wieder diese flache Ebene weglassen könnte, um anderee Geometrien zu betreten. Wojewodskis Univalenzaxiom nun bestimmt eine Relation zwischen zwei verschiedenen Beziehungen, die abstrakte Gegenstände zueinander haben können – eine Relation zwischen Äquivalenz und Identität. Die Identität ist die intuitiv leichter fassbare der beiden, nämlich die Beziehung zwischen A und A in der Gleichung „A = A“, sprich: das, was A zu A macht. Schreibt man „A = B“, meint man also, A und B seien dasselbe. Kniffliger als diese Identität ist die Äquivalenz.

          Dietmar Dath

          Redakteur im Feuilleton.

          Der Begriff, den sich Wojewodski von ihr gemacht hat, stammt aus der sogenannten „Homotopietheorie“: Zwei Abbildungen in zwei Objekten sind homotop, wenn man sie ineinander überführen kann, ohne die Objekte zu zerschneiden oder zu zerreißen; ein Schwimmreifen hat dieses Verhältnis zu einer Kaffeetasse, denn beide besitzen nur ein Loch. Wären sie aus Knetgummi, könnte man das eine Ding mit Geduld und Fingerfertigkeit ins andere verwandeln, ohne bestehende Punktnachbarschaften trennen und neu aneinanderheften zu müssen. „Äquivalenz“ bezieht sich in diesem Rahmen nicht auf die Objekte, sondern solche Umformungen, die „Morphismen“ oder „Abbildungen“ heißen.

          Zwei Räume X und Y sind homotopie-äquivalent, wenn es zwei Abbildungen f (von X nach Y) und g (von Y nach X) dergestalt gibt, dass erstens die Identität von Y (also die Abbildung, die alle Punkte von Y auf sich selbst schiebt, was geht, weil Y = Y) homotop ist zu der Verknüpfung, bei der zuerst die Abbildung g und dann die Abbildung f durchgeführt wird, und wenn zweitens die Identität von X (also die Abbildung, die alle Punkte von X auf sich selbst schiebt, was geht, weil X = X) homotop ist zu der Verknüpfung, bei der erst f und dann g angewendet wird. Wojewodskis Univalenzaxiom sagt ganz grob etwas wie „(A ist gleich B) ist äquivalent zu (A ist äquivalent zu B)“. Der Nutzen dieses Gesetzes fürs mathematische Denken insgesamt ist, wenn Wojewodski recht hat, unermesslich. Bis zu seinem Tod hat er einen großen Anfang dazu gemacht, diesen Nutzen auszudeuten. Als er am 30. September 2017 im Alter von erst 51 Jahren gestorben war, fasste ein Kollege auf Nachfrage der „New York Times“ das Vermächtnis des Toten mit der Feststellung zusammen, das Zeichen „=“ bedeute nicht mehr dasselbe wie vor Wojewodski.

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