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Viele Wege führen ans Ziel: Philip Ordings neues Buch „99 Variations on a Proof“ handelt von verschiedenen Wegen zu mathematischen Wahrheiten. Bild: kathryn_stevens@press.princeton.edu

Buch „99 Variations on a Proof“ : Nicht nur ein Weg führt ans Ziel

Philip Ording zeigt auf spielerische Weise, dass der Wege zu mathematischen Wahrheiten viele sind – und ganz verschiedene Teile unseres Gehirns dabei zum Einsatz kommen können.

          4 Min.

          Woher wissen Sie, dass Sie diesen Satz lesen können? Eine naive Antwort wäre: „Ich hab’s eben getan, also kann ich’s.“ Diese Reaktion kommt aus der Erfahrung. Eine etwas raffiniertere wäre: „Wenn ich den Satz nicht lesen könnte, würde ich die Frage, die er stellt, jetzt nicht beantworten.“ Diese Reaktion kommt aus der Logik.

          Dietmar Dath
          Redakteur im Feuilleton.

          Viele Katastrophen, auch solche, bei denen Menschen sterben, ergeben sich daraus, dass Leute zwischen Antworten auf Fragen, die sich in der Erfahrung finden, und anderen, bei denen die Logik bemüht werden muss, nicht unterscheiden. Tun zum Beispiel die Computerprogramme, die einen wachsenden Anteil sowohl unserer Alltags- wie Ausnahmesituationen regeln, wirklich das, was sie sollen? Ist das eine Frage nach der Anwendungserfahrung oder der im Programm implementierten Logik, sei es beim Datenschutz auf Facebook oder beim Algorithmus, der den Kühlschrank steuert?

          Der beste logische statt praktische Test von Computercode funktioniert wie ein mathematischer Beweis: Er bestimmt nicht einfach das, was ein Programm tut, sondern viel grundsätzlicher, was es überhaupt kann. Ein mathematischer Beweis kann zeigen, ob es ein Resultat, zu dem eine Zeichenkette, die etwas bedeutet (etwa ein Programmbefehl), führen soll, tatsächlich gibt. Dann handelt es sich um einen konstruktiven Beweis.

          Aus dem Buch: Philip Ording „99 Variations on a Proof“
          Aus dem Buch: Philip Ording „99 Variations on a Proof“ : Bild: kathryn_stevens@press.princeton.edu

          Man kann aber auch untersuchen, ob die Umformung der Zeichenkette nach vorher festgelegten Folgerungsregeln (also indem man rechnet) zu einem Widerspruch führt. Auf dem Weg solcher Beweise lässt sich sogar herausfinden, was überhaupt berechenbar ist. Komplementär zu solchen Beweistechniken (es gibt noch weitere mit eindrucksvollen Namen wie „Induktion“ oder „Forcing“) hat sich jüngst eine Disziplin namens „Rückwärtsmathematik“ konstituiert, die etablierte Beweise sozusagen umkrempelt, indem sie erforscht, welche Voraussetzungen (Axiome) es braucht, um eine gegebene Behauptung beweisen zu können. Die meisten Menschen, die ihre Finanzen, Reisen oder Zerstreuungen mit Computern steuern, wissen das alles leider nicht. Zum Glück gibt es aber jetzt ein Buch, das weiterhilft. Sein Titel lautet „99 Variations on a Proof“.

          Die richtigen und einzigen Lösungen

          Wenn man die Spiele mitspielt, die sein Autor Philip Ording darin vorstellt, staunt man schnell darüber, eine Art Schweizer Taschenmesser im Kopf zu haben, von dem man gar nicht ahnte, was es alles kann. Der Verfasser, Mathematikprofessor am Sarah Lawrence College nördlich von New York, hat sich eine Polynomgleichung dritten Grades vorgenommen, also eine Summe von Dingen, die man mit einer Variable x anstellt, wobei diese Variable höchstens in dritter Potenz vorkommt. Ording sucht in seinem Buch nicht etwa danach, welche Werte für x seine Gleichung erfüllen – das verrät er vielmehr sofort, es sind die 1 und die 4. Der springende Punkt ist vielmehr, dass er auf neunundneunzig Arten zeigt, dass diese die richtigen und einzigen Lösungen sind.

          Zeichnet man die Gleichung zum Beispiel als einen Funktionsgraphen, dann kann man die Lösungen mit eigenen Augen sehen; die Logikwahrheit wird zur Erfahrungswahrheit (Ordings Beweis Nr. 3). Notiert man die Gleichung auf beiden Seiten in Notenwerten, lässt sie sich auf zwei Geigen spielen, und wenn man musikalisch geübt ist, kann man sie daraufhin hören, nämlich als Einklang (Beweis Nr. 26). Vergegenständlicht man das Ganze wiederum in Proportionen eines entsprechend zurechtgeschnittenen Papiers, kann man sich die Resultate als Origami erfalten, dann lernen sogar die Finger das Beweisen (Beweis Nr. 39).

          Das Spektrum der Beweistechniken im Buch reicht von sehr konkreten, mechanischen Verfahren mit Balken und Gewichten (Beweis Nr. 87) bis zum ultratrockenen Algorithmus (Beweis Nr. 27). Dass Nichtmathematiker dieses Buch verstehen können, ist dabei keineswegs unwahrscheinlich; es vermeidet nämlich Fachdialekte und ist stattdessen in Idiomen geschrieben, die man fast auf der ganzen Welt versteht (Englisch, Musikalisch, Humoristisch), vor allem aber durchgängig in einer Sprache, die sogar in beliebig vielen, ohne diese Sprache aber unzugänglichen, nämlich völlig fremdartigen, dafür jedoch denkbaren Welten gilt (Mathematisch).

          Von Beweistechnik zu Beweistechnik

          Manche der Beweise, die Ording durchspielt wie der Schriftsteller und Amateur-Mathematiker Raymond Queneau 1947 seine berühmten „Exercices de Style“, tragen ihre – etwa algebraischen oder arithmetischen – Geltungsvoraussetzungen offen vor sich her. In andere sind sie eher raffiniert eingewickelt; der Verstand hat viel zu lachen, während er sie auspackt. Nebenher lernt man noch eine Menge über die Entwicklung mathematischer Darstellungskonventionen. Die Bedeutung von Wörtern wie „Klarheit“ oder „Strenge“ hat sich im Lauf der Geschichte der Mathematik verändert. Würde man etwa einer Informatikerin von heute, die eine bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses maschinell berechnen lassen will und dazu auf den sogenannten Satz von Bayes zurückgreift, den „Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances“ von 1763 zum Lesen geben, in dem Thomas Bayes seine revolutionäre Idee entwickelte, sie würde ihn kaum verstehen.

          Der Fortschritt der mathematischen Wissenschaften vom Abzählen an zehn Fingern über die Mengenlehre bis zu Kategorientheorie vollzieht sich nicht nur von Satz zu Satz, Lemma zu Lemma, Beweis zu Beweis, sondern auch von Beweistechnik zu Beweistechnik. Dass es im Himmel ein Buch mit den idealen, schönsten, besten Beweisen gibt, ist ein Traum des Mathematikers Paul Erdös, der sich besser anhört, als er in Wahrheit wäre, weil durch ihn der Kreativität in der Mathematik eine Obergrenze gesetzt würde. Die Untergrenze besteht in den Wahrheitsbedingungen dieser Wissenschaft selbst, die sich etwa von den Schönheitsbedingungen der Kunst unterscheiden. Den Satz von Monsky – wonach es unmöglich ist, ein Quadrat in eine ungleiche Anzahl von Dreiecken gleicher Fläche zu zerlegen – hätte irgendwann jemand anders als Paul Monsky gefunden, wäre er diesem nicht aufgegangen, denn der Satz ist wahr. Während etwa die Erzählungen, die in Ann Cottens neuem Band „Lyophilia“ stehen, niemand anders als sie je hätte schreiben können.

          „Das Buch der Beweise“, in dem Martin Aigner und Günter M. Ziegler 2002 einige Kandidaten für die von Erdös erträumte mathematische Bibel versammelt haben, eignet sich dennoch zur Vertiefung der Einsichten, die man bei Philip Ordings Spielen gewinnen kann. Haben Sie den Artikel jetzt gleich zu Ende gelesen, der Ihnen empfiehlt, die „99 Variations on a Proof“ zu lesen? Ein naiver Beweis dafür wäre, wenn sie der Empfehlung jetzt einfach folgen würden. Naiv, aber nicht dumm.

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