Von Ulf von Rauchhaupt
29. November 2006 Können Gleichungen schön sein? Wer sich in mathematischen Dingen für unmusikalisch hält, wird da widersprechen. Etwa weil er oder sie sich an die quadratischen Gleichungen aus der Schule erinnert: Dinger aus Zahlen und X-en, manche davon im Quadrat, und das Ganze gleich Null gesetzt. Dazu mußte man dann eine Lösung finden, also die Werte von x, welche die Gleichung erfüllen. Heraus kamen meist irgendwelche Wurzeln. Und das soll schön sein?
Nicht nur schön, sondern sogar für den Nichtmathematiker verblüffend, sofern man es noch etwas komplizierter macht: Statt nur des x gibt es jetzt auch y und z. Und die kommen nicht nur im Quadrat vor, sondern auch in höheren Potenzen - und miteinander multipliziert. So was nennt sich dann eine algebraische Gleichung in drei Dimensionen. Ihre Lösungen sind jetzt keine Punkte auf dem Zahlenstrahl, sondern Gebilde im dreidimensionalen Raum sogenannte algebraische Flächen. Daß die schön sein können, wird wohl jeder zugeben, der die nebenstehende Bildergalerie gesehen hat. Und wer zum Beispiel auf „Suess“ achtet, der dürfte angesichts der relativ einfachen Gestalt der dazugehörigen Gleichungen wohl auch etwas verblüfft sein.
Computer berechnen zugehörige Fläche zur Gleichung
Die meisten der Namen hat sich Herwig Hauser von der Universität Innsbruck ausgedacht. Er und seine Mitarbeiter haben viele dieser Flächen als erste in voller Schönheit dargestellt, auch die hier gezeigten Bilder stammen von ihnen. Nun ist so eine Gleichung schnell hingeschrieben - und jede denkbare Gleichung dieser Art produziert durch ihre Lösungen eindeutig eine Fläche. Aber diese Lösungen zu finden ist nicht ganz einfach. Doch mit Computern und moderner Visualisierungssoftware können Hauser und sein Mitarbeiter Sebastian Gann zu jeder Gleichung die zugehörige Fläche berechnen, sofern keine höheren Potenzen als zehn vorkommen.
Die Lösung der algebraischen Gleichung ist aber nur ein Teil der Arbeit. „Das Feilen an der Visualisierung kann Tage in Anspruch nehmen“, sagt Hauser. Da gilt es Blickwinkel, Farben und virtuelle Beleuchtung so zu wählen, daß die Struktur einer Fläche möglichst einsichtig wird (siehe auch die Galerie der animierten Figuren bei der Universität Innsbruck). Auch bilden lange nicht alle Flächen geschlossene Oberflächen. Die meisten strecken sich ins Unendliche, daher müssen sie um die interessanten Stellen herum ausgeschnitten werden.
Zahl wird verändert und eine Falte wird zum Knick
Interessante Stellen, das sind für die Mathematiker vor allem die sogenannten Singularitäten. So heißen Punkte oder Linien, an denen eine Fläche nicht glatt ist. Davon gibt es drei verschiedene Typen. Erstens die Spitzen. Nicht immer sind sie so auffällig wie bei den Zacken des „Enzensberger-Sterns“. Bei „Dullo“ etwa liegt der singuläre Punkt im Zentrum dieses apfelartigen Objekts. Zweitens gibt es die Knicke, etwa bei „Sofa“. Dieses ist eine berühmte Singularität, die auch in der Stringtheorie eine Rolle spielt, also bei bestimmten Versuchen, die Quantenphysik mit Einsteins Gravitationstheorie unter einen mathematischen Hut zu bringen. Die dritte Art von Singularitäten sind Linien, an denen die Flächen sich mit sich selbst überschneiden, etwa beim „Kolibri“.
Singularitäten gibt es zudem in verschiedenen Stärken. Die Fläche „Spitz“ etwa hat Kanten, die sich in einer Spitze vereinigen. Die Singularität an dieser Spitze ist damit gravierender als die an den Kanten. Ob und wie eine Fläche singulär ist, kann dabei sehr empfindlich von der Gleichung abhängen. Oft reicht es, eine einzige Zahl etwas zu verändern, und eine Falte wird zu einem Knick - oder eine Beule zu einer Spitze wie im Fall von „Flirt“, einer Fläche, deren Gleichung sich von der von „Vis-à-Vis“ nur durch den Faktor 10 vor dem „z4“ unterscheidet.
Singularität wird in eine höhere Dimension gesprengt
Singularitäten faszinieren die Mathematiker, aber oft stören sie sie auch. Daher ist es sehr praktisch, daß man sie sozusagen entschärfen kann. Die entsprechende mathematische Minenräumtechnik trägt den Namen „Explosion“ oder „Blowup“, und tatsächlich läßt man dabei die Singularität buchstäblich hochgehen, allerdings nicht in die Luft, sondern in eine höhere Dimension. Wie das vor sich geht, kann man sich anstatt an einer zweidimensionalen Fläche im dreidimensionalen Raum an einem Gebilde mit einer um eins niedrigeren Dimension klarmachen: einer sogenannten Kurve. Ähnlich wird eine singuläre Fläche zu einer glatteren verbogen, die genauso ein zweidimensionales Gebilde im dreidimensionalen Raum ist wie die Ausgangsfläche. Sie liegt nur etwas anders in der vierten Dimension.
Der Witz an diesem Verfahren ist, daß die glattgezogene Fläche im großen und ganzen dieselben Eigenschaften aufweist wie das ursprüngliche Gebilde - nur in der Umgebung der Singularität hat sich etwas verändert. Aber nicht alle Singularitäten werden immer sofort mit einer Explosion beseitigt. Beispielsweise hat die Fläche „Calyx“ eine Singularität in Form eines geraden Knickes. Unterwirft man sie einer Explosion,erhält man eine ähnliche Fläche mit dem Namen „Calypso“. Dort ist der Knick glattgebügelt - mit Ausnahme eines einzigen Punktes.
Allerdings kann man jede noch so mit Singularitäten durchsetzte Fläche durch eine Folge von Explosionen in eine gänzlich glatte umwandeln. Daß dies geht - und zwar bei Flächen in beliebig hohen Dimensionen -, hat in den sechziger Jahren der Japaner Heisuke Hironaka bewiesen und dafür 1970 die begehrte Fieldsmedaille erhalten. Sein Beweis galt lange als einer der schwierigsten überhaupt. Er umfaßt gut 200 Druckseiten, durch die sich nur wenige Experten durchgekämpft haben. „Da das Hironaka-Theorem aber so wichtig ist, wollten wir den Beweis auch mal richtig verstehen“, erinnert sich Hauser. Das Ergebnis dieser Bemühung war, daß Hauser im Jahr 2003 zusammen mit einem Kollegen das Theorem noch einmal neu bewies - diesmal auf nur 20 Seiten. An Knappheit und Durchsichtigkeit erfreut sich der Mathematiker eben fast so sehr wie an Schönheit.
Text: Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung, 26.11.2006, Nr. 47 / Seite 72
Bildmaterial: Herwig Hauser & Sebastian Gann, Universität Innsbruck, FWF P-18299
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