Von Matthias Kreck, Universität Bonn
02. Januar 2008 Mathematik kennt jeder. Schließlich wird das Fach in der Schule so intensiv wie sonst nur noch Deutsch gelehrt. Doch von den sechs oder neun Schuljahren ist bei vielen nicht mehr geblieben als die Erinnerung an stupides Anwenden gewisser Rechenrezepte. Dass ohne Mathematik die meisten modernen technischen Errungenschaften nicht denkbar wären, davon bekommt man in der Schule kaum etwas mit. Und ebenso, dass uns Mathematik fast überall in der Natur begegnet, etwa in der periodischen Bewegung von Planeten oder in Form von Schneckenhäusern und Schneeflocken.
Dass die meisten so wenig Mathematik kennen, wirft nicht nur ein negatives Licht auf die Allgemeinbildung. Wer statistische Erhebungen oder den Ablauf von Computerprogrammen richtig verstehen will, kommt ohne ein gewisses mathematisches Grundverständnis nicht aus. Vor diesem Hintergrund ist es sehr erfreulich, dass das Bundesforschungsministerium und die Initiative "Wissenschaft im Dialog" 2008 zum Jahr der Mathematik ausgerufen haben. Dies bietet Chancen, diese Disziplin einmal genauer ins Visier zu nehmen und ihr angestaubtes Image aufzupolieren.
Es fehlt eine griffige Charakterisierung
Dass das Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit so fern der Wirklichkeit ist, hat möglicherweise auch damit zu tun, dass es keine allgemein anerkannte griffige Charakterisierung der Mathematik gibt. Anders die Physik, die sich als Wissenschaft definieren lässt, die nach den Gesetzen sucht, nach denen Raum, Zeit und Materie organisiert sind.
Für Galileio Galilei war das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben. Diese Sichtweise, die mit einer statischen Vorstellung vorgegebener mathematischer Gegenstände wie Zahlen und Euklidische Geometrie verbunden ist, änderte sich im Laufe der Zeit, insbesondere mit der Entwicklung der Mengenlehre im 19. Jahrhundert. Plötzlich konnte jeder Mathematiker einem Künstler gleich neue mathematische Objekte aus dem Nichts erfinden. Diese Veränderung vom Wissenschaftler, der etwas Vorgegebenes analysiert, zu einem Baumeister spiegelt sich in dem Ausspruch David Hilberts (1862-1943) zu Beginn des 20. Jahrhunderts wider: "Die Mathematik ist das Instrument, welches die Vermittlung zwischen Theorie und Praxis bewirkt, zwischen Denken und Beobachten. Sie baut die verbindende Brücke und gestaltet sie immer tragfähiger." Will man eine Verbindung zwischen Galilei und Hilbert herstellen, so könnte man die Mathematik als die Wissenschaft charakterisieren, die die objektive Sprache der Natur entwickelt, in dieser Sprache gültige Sätze sucht, diese beweist und in ihr formulierte Probleme zu lösen versucht.
Innerer Bewegungsantrieb
Es gibt sicher Mathematiker, die dieser Charakterisierung nicht zustimmen, da sie den Bezug zur Natur, auch wenn Natur sehr weit gefasst wird, noch zu eng finden. Und in der Tat denken die meisten Mathematiker in ihrer täglichen Arbeit nicht über den Bezug ihres Faches zur Natur nach. Sie definieren und beweisen vor sich hin, im Wesentlichen geleitet von dem Bemühen, irgendwas Neues herauszubekommen. Das tägliche Leben der meisten Forschungsmathematiker ähnelt über weite Strecken dem eines Hamsters im Laufrad, er folgt einem inneren Bewegungstrieb, irgendwas Neues herauszufinden. Dabei ist er allerdings sofort bereit, sein irgendwann mal ins Visier genommene Forschungsziel, für das er vielleicht in einem mühevollen Begutachtungsprozess Drittmittel eingeworben hat, aufzugeben, weil er für ihn selbst völlig unerwartet sieht, dass er was ganz anderes beweisen kann.
Obwohl der Bezug zur Natur (und diese ist sehr weit zu fassen, reicht also von physikalischen Aspekten über chemische und biologische bis hin zu objektivierbaren Bereichen der Ökonomie) in den Köpfen der Mathematiker meist nicht präsent ist, lehrt ein Blick in die Geschichte der Mathematik, dass ihre Anbindung an die Natur - im obigen weit verstandenen Sinne - das Instrument ist, das die Mathematik in ihrer Bahn hält. Die Natur ist eine Art Leitplanke, wo Grenzen gezogen werden, die möglicherweise einer Gefährdung der Mathematik vorbeugen. Zweige der Mathematik, die sich zu weit von der Natur entfernen, sterben in einem Quasievolutionsprozess ab oder werden tiefgefroren auf Halde gelegt, bis sie - wenn das Verständnis von Natur gerade diesen Ast benötigt - aufgetaut und zu blühendem Leben erweckt werden. Einer Frage muss man sich bei der Kopplung von Mathematik an Natur stellen: Was ist mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . .? Wenn man diese als Gemeinsames aller möglichen endlicher Ansammlungen von Objekten (und da bleibt nur ihre Anzahl) auffasst, so erscheinen auch sie als fundamentaler Baustein der Natur.
Eine Sprachbarriere
Was die Mathematik für viele so fremd erscheinen lässt, ist ihre ureigene Sprache, die sich von den Sprachen anderer wissenschaftlichen Disziplinen stark unterscheidet, welche eher das Vokabular der Alltagssprache verwenden. Die Mathematik benutzt dagegen die Sprache der Logik, die gleichsam von Null entwickelt wird mit eigenen Buchstaben, einer detaillierten Grammatik und Semantik. Die volle Sprache der Logik spielt zwar im täglichen Leben der Mathematiker nur eine untergeordnete Rolle. Sie ist aber die Rückversicherung, die es den Mathematikern erlaubt, mit unerschütterlicher Sicherheit solche typische Definitionen zu machen wie: Eine Menge A mit einer Abbildung + von A x A nach A ist eine Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind . . . Jeder, der so eine Formulierung mit der in irgendeiner anderen Wissenschaft vergleicht, wird zustimmen, dass das ganz anders klingt. Und so liest sich der bekannte Satz des Pythagoras (a2 + b2 = c2): Sei V ein euklidischer Vektorraum und seien v und w zwei orthogonale Vektoren in V, dann ist die Summe der Quadrate der Normen von v und w gleich dem von v-w.
Die Sprache der Mathematik zeichnet sich vor allem durch ihr Streben nach Objektivität aus, und die mathematischen Aussagen (Sätze) gelten ewig. Die Aussagen jeder anderen Wissenschaft können stets hinterfragt und, wenn neue Erkenntnisse es erfordern, umgestoßen werden. So galt die Newtonsche Mechanik lange Zeit als unerschütterliches Theoriegerüst, bis ihre Gesetzmäßigkeiten von der Allgemeinen Relativitätstheorie Albert Einsteins modifiziert wurden.
Diskrete und kontinuierliche Mathematik
Seit alters her gibt es eine sehr fruchtbare Spannung zwischen den Teilen der Mathematik, die sich mit endlichen oder abzählbaren Mengen beschäftigen, und denen, die sich auf überabzählbare Mengen wie die reellen Zahlen beziehen. Zum ersten Bereich gehört die Zahlentheorie, wo man versucht, der Struktur der natürlichen Zahlen auf die Spur zu kommen, insbesondere ihren "Elementarteilchen", den Primzahlen. Daneben gehören dazu weite, durch die Zahlentheorie befruchtete Teile der Algebra, die Kombinatorik, Graphentheorie und Teile der Optimierung. Zum zweiten Bereich gehören Analysis, Stochastik, Geometrie und Topologie, und andere Teile von Algebra und Optimierung. Man könnte den ersten Bereich die diskrete Mathematik nennen und den zweiten die kontinuierliche Mathematik.
Beide Bereiche werden sowohl vorwiegend theoretisch wie anwendungsbezogen behandelt. Überall spielen algorithmische Verfahren, also auf Computern implementierbare Lösungsmethoden für konkrete mathematische Probleme, meist bezogen auf die Lösung von Problemen, die zu Gleichungen führen, eine zunehmende Rolle. Daraus sind große eigenständige mathematische Gebiete wie Numerik, lineare und nichtlineare Optimierung und wissenschaftliches Rechnen entstanden. Zwischen den beiden großen Bereichen gibt es intensive Wechselwirkungen, man bringt Fragestellungen der diskreten Mathematik mit analytischen, stochastischen, geometrischen und topologischen Konzepten in Verbindung und umgekehrt diskretisiert man auf höchst subtile Weise viele Probleme der kontinuierlichen Mathematik. Und allen ist etwas gemeinsam, was offensichtlich die meisten nicht wissen, wie ich immer wieder an Ausrufen wie: "In der Mathematik ist doch schon alles bekannt!" erkenne, nämlich dass es in allen Bereichen der Mathematik eine Fülle von fundamentalen offenen Fragen gibt.
Keine rein akademische Angelegenheit
Man könnte die Diskussion, was Mathematik eigentlich ist, als eine rein akademische Angelegenheit abtun. Es gibt aber gute Gründe, das anders zu sehen. Denn Mathematik ist ein Schlüsselfach mit einer großen Bedeutung für die Allgemeinbildung, für andere Wissenschaften und für praktische Anwendungen. Zudem ist sie ein Kulturgut. Fast alle Wissenschaften greifen heutzutage auf mathematische Modelle zurück. Und in vielen Berufen, vom Ingenieur bis zum Psychologen, kommt man nicht ohne Mathematik aus.
Seit den erschreckenden Ergebnissen der Pisa-Studie ist die Frage berechtigt, ob die mit großem Aufwand an den Schulen unterrichtete Mathematik auch Mathematik ist. Es wäre sehr zu begrüßen, wenn das Curriculum des Mathematikunterrichts kritisch danach hinterfragt würde, inwiefern es der mathematischen Wirklichkeit entspricht. Eine solche Reform erscheint dringend notwendig. Es gibt gute Gründe anzunehmen, dass man Mathematik auf allen Ebenen so unterrichten kann, dass man mehr und mehr von der objektiven Sprache der Natur und exemplarisch einige Sätze mit Beweisen und Lösungsverfahren lernt. Neben dem Erlernen von relevanten Kenntnissen und Fertigkeiten der noch wichtigere Effekt, dass es kaum eine so gute Denkschulung wie durch Mathematik gibt - aber nur, wenn Argumentieren eine große Rolle spielt und nicht schematisches Anwenden von Formeln. Das hätte wahrscheinlich auch den Nebeneffekt, dass die Mathematik von einem Fach, das den meisten langweilig und quälend vorkommt, zu einem lebendigen und spannenden Fach werden könnte.
Der Autor ist Direktor des Hausdorff Research Institute for Mathematics an der Universität Bonn.
Text: F.A.Z., 02.01.2008, Nr. 1 / Seite N1
Bildmaterial: Jos Leys / www.josleys.com
