14.03.2010 · Auch von den meisten anderen wichtigen irrationalen Konstanten der Mathematik - wie der Eulerschen Zahl, dem natürlichen Logarithmus von 2, der Quadratwurzel aus 2 oder dem Goldenen Schnitt - ist nicht bekannt, ob sie normal sind. Die Chaostheorie dient als Hilfe auf dem Weg zum Beweis.
Von Heinrich Hemme
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Ähnlich wie die Biologen bei den Lebewesen Pflanzen und Tiere unterscheiden, so teilen die Mathematiker alle Zahlen in rationale und irrationale auf. Die rationalen Zahlen sind dabei die einfachere Gattung. Im täglichen Leben hat man ständig mit ihnen zu tun. Sie lassen sich immer durch einen Bruch darstellen. Schreibt man den Bruch als Dezimalzahl, so hat diese entweder keine Stelle hinter dem Komma (zum Beispiel 2:1=2), eine begrenzte Anzahl von Stellen (5:4=1,25) oder unendlich viele, aber sich periodisch wiederholende Stellen (6:11=0,545454. . .). Andere Möglichkeiten gibt es nicht.
Die irrationalen Zahlen hingegen sind alle die, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen. Sie haben immer unendlich viele Stellen hinter dem Komma, die sich jedoch niemals periodisch wiederholen. Die bekannteste von ihnen ist die mit dem griechischen Buchstaben Pi bezeichnete Kreiszahl, die das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Ihre ersten Stellen sind 3,14159265. Für Zahlenfetischisten ist es seit Jahrhunderten eine Art Hochleistungssport, möglichst viele Ziffern von Pi zu berechnen. Den Rekord halten zur Zeit die beiden Japaner Yasumasa Kanada und Daisuke Takahashi von der Universität Tokio, die Pi im Jahre 1999 auf 206 158 430 000 Stellen genau bestimmt haben.
Gleiche Häufigkeit verschiedener Ziffern
Daß Pi irrational ist, wissen die Mathematiker schon seit mehr als zweihundert Jahren. Was sie jedoch nicht wissen und was sich hartnäckig jedem Zugriff verweigert, ist die Antwort auf die Frage: Ist Pi normal? Unter der Normalität einer irrationalen Zahl versteht man in diesem Zusammenhang eine statistisch gleichmäßige Verteilung der Ziffern auf ihre unendlich vielen Stellen. Das heißt, alle zehn Ziffern von 0 bis 9 müssen in einer normalen Zahl jeweils mit einer zehnprozentigen Häufigkeit auftreten. Aber auch alle hundert Ziffernpaare von 00 bis 99 müssen gleich häufig vorkommen. Und das gleiche muß auch für alle Dreierkombinationen von Ziffern, Viererkombinationen und so weiter gelten. Die Ziffernfolge 1111111 beispielsweise, der Todestag von John Lennon (08121980) und die Anfangsziffern von Pi (3141592) treten folglich gleich oft in jeder normalen Zahl auf. Kodiert man die Klein- und die Großbuchstaben des Alphabets durch die Zahlen von 00 bis 52 und die Satz-, Leer- und Sonderzeichen durch die Zahlen von 53 bis 99, so kann man den auf diese Weise verschlüsselten Text der Bibel unter den Stellen jeder normalen Zahl finden, und das nicht nur ein einziges Mal, sondern beliebig oft. Außerdem taucht jeder andere Text der gleichen Länge genauso oft auf. Überhaupt kann man jedes Buch der Welt, das jemals geschrieben wurde und jemals geschrieben werden wird, unter den Ziffern einer normalen Zahl entdecken.
Chaostheorie als Hilfe
Die beiden Mathematiker David H. Bailey vom Lawrence Berkeley National Laboratory in Berkeley/Kalifornien und Richard E. Crandall vom Reed College in Portland/Oregon sind nun der Antwort auf die Frage nach der Normalität von Pi ein ganzes Stück näher gekommen. Eigentlich gehört das Problem in den Bereich der Zahlentheorie. Bailey und Crandall stellten jedoch eine Vermutung aus einem ganz anderen Gebiet der Mathematik auf, nämlich der Chaosdynamik, die normalerweise nicht viel mit der Zahlentheorie zu tun hat. Es gelang ihnen nun zu beweisen, dass - falls ihre Vermutung aus der Chaostheorie richtig sein sollte - Pi eine normale Zahl wäre. Durch diese Verschiebung des Problems von der Zahlen- in die Chaostheorie ist das Tor zu einem ganzen Arsenal von anderen Verfahren aufgestoßen worden, mit denen die Mathematiker der Normalitätsfrage zu Leibe rücken können.
Der Weg dorthin war lang, und er ging über das Dualsystem. Die Menschen stellen Zahlen gewöhnlich im Dezimalsystem mit seinen zehn Ziffern von 0 bis 9 dar. Computer hingegen rechnen im Dualsystem und drücken Zahlen nur durch Nullen und Einsen aus. Im Dualsystem lauten die ersten Stellen von Pi 11,00100100001111.
Im Jahre 1996 gelang es Bailey zusammen mit den beiden Mathematikern Peter Borwein von der Simon Fraser University in Burnaby/Kanada und Simon Plouffe von der Université du Québec in Montreal/Kanada, eine Formel zu finden, mit der man eine beliebige Stelle von Pi in der Dualdarstellung berechnen kann, ohne die vorhergehenden Stellen kennen zu müssen. Dies hatte man bis dahin für unmöglich gehalten. Daraus entwickelte sich auch sofort eine neue mathematische Sportart: Man versucht, Stellen von Pi zu berechnen, die exotisch weit hinten in der Zahl stehen. Der Weltrekord liegt zur Zeit bei der billiardsten Stelle von Pi (eine Billiarde = 1 000 000 000 000 000). Es handelt sich um eine 0.
Fünf Jahre später zerhacken Bailey und Crandall die Stellen von Pi in unendlich viele Blöcke mit jeweils gleich vielen Ziffern und setzten anschließend vor jeden Block eine Null und ein Dezimalkomma. Dadurch erhielten sie eine unendlich lange Reihe von Zahlen, die alle zwischen 0 und 1 lagen. Die Zahlen dieser Reihe ließen sich auch allgemein durch die 1996 entdeckte Formel beschreiben. Damit konnten die beiden Mathematiker nun beweisen, daß die Zahlen nur dann völlig gleichförmig und zufällig zwischen 0 und 1 verteilt sein würden, wenn Pi normal wäre, und umgekehrt, daß nur dann Pi normal wäre, wenn die Zahlen gleichförmig und zufällig zwischen 0 und 1 verteilt lägen.
Auf dem Weg zum Beweis
Bailey und Crandall haben zwar noch nicht bewiesen, dass Pi normal ist. Aber sie haben eine Marschroute entworfen, die zum Ziel führen könnte, und auf diesem weiten Weg den ersten Schritt gemacht. Das Problem der Normalität von Pi gilt unter Experten als extrem schwierig. Der Mathematiker Stan Wagon vom Macalester College in St. Paul/Minnesota hält es schon für einen großen Durchbruch, dass Bailey und Crandall überhaupt etwas Neues über diese Materie sagen können.
Auch von den meisten anderen wichtigen irrationalen Konstanten der Mathematik - wie der Eulerschen Zahl, dem natürlichen Logarithmus von 2, der Quadratwurzel aus 2 oder dem Goldenen Schnitt - ist nicht bekannt, ob sie normal sind. Sollte der von Bailey und Crandall eingeschlagene Weg für Pi zum Ziel führen, ist es vermutlich auch nicht mehr allzu schwer, die Normalität dieser Zahlen zu beweisen oder zu widerlegen.
