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Veröffentlicht: 26.10.2013, 09:22 Uhr

Materialien wie Ornamente Die Mathematik der falschen Kristalle

Sie ähneln im Atomaufbau den Arabesken in maurischen Palästen: Quasikristalle gehören zu den exotischsten Materialien. Jetzt hat man in Halle-Wittenberg neue entdeckt.

von Uta Bilow
© Universität Halle-Wittenberg Wie bedeckt man eine Fläche lückenlos mit Dreiecken, Vierecken und Fünfecken?

Diamant, Kochsalz oder Metalle - viele Feststoffe bilden Kristalle. Die Atome dieser Festkörper sind hochgradig geordnet und ganz regelmäßig gepackt. Deshalb findet man in jedem Kristall eine kleinste Einheit, die sich periodisch in alle drei Raumrichtungen wiederholt. Anders ist die Sachlage bei sogenannten Quasikristallen, für deren Entdeckung 1984 der israelische Physiker Daniel Shechtman im Jahr 2011 mit dem Chemie-Nobelpreis ausgezeichnet wurde. Auch in diesen besonderen Festkörpern sind die Atome regelmäßig angeordnet. Allerdings existiert kein periodisches Muster. Lange Zeit wurden die Ergebnisse von Shechtman angezweifelt und damit auch die Existenz von Quasikristallen in Frage gestellt.

Heute weiß man indes, dass einige Metalllegierungen, aber auch bestimmte Polymere diese ungewöhnliche Struktur tatsächlich annehmen können. Physiker der Martin-Luther-Universität in Halle-Wittenberg haben nun ein Oxid entdeckt, dass ebenfalls Quasikristalle ausbildet. Da Quasikristalle ungewöhnliche physikalische Eigenschaften zeigen, könnte die Entdeckung das Anwendungsspektrum der neuartigen Materialien erweitern.

Quasikristalle © Maike Glöckner Vergrößern An der Vakuum-Apparatur Wolf Widdra (links) und René Hammer

Die Physiker um Wolf Widdra experimentierten mit der Substanz Bariumtitanat. Dieses Mischoxid aus Barium und Titan kristallisiert normalerweise in der sogenannten Perowskit-Struktur mit einem hochgeordneten kubischen Aufbau. Als die Forscher das Bariumtitanat als dünne Schicht auf einer Platinfläche aufbrachten und kurzzeitig auf fast tausend Grad erhitzten, zeigte das Material bei der anschließenden Strukturanalyse mit einem Elektronenstrahl ein ungewöhnliches Beugungsmuster, das auf eine aperiodische Anordnung der Atome im Kristallgitter hindeutete. Bei dieser Analyse erzeugen die reflektierten Elektronenstrahlen ein charakteristisches Punktmuster, aus dem sich die Anordnung der Atome im Kristall bestimmen und auch die Symmetrie erkennen lässt. Ergänzende Untersuchungen mit einem Rastertunnelmikroskop ergaben, dass tatsächlich ein Quasikristall mit einer zwölfzähligen Symmetrie vorlag („Nature“, Bd. 502, S. 215).

Quasikristalle © Maike Glöckner Vergrößern Die Analyse der Probe erfolgt am Computer, Wolf Widdra (rechts) und René Hammer.

Für Kristalle sind naturgemäß nur einige Symmetrien erlaubt. Denkt man sich eine ebene Fläche, so kann diese nur lückenlos ausgefüllt werden, wenn man sie mit Dreiecken, Vierecken oder Sechsecken bedeckt. Auch für den dreidimensionalen Raum sind diese drei-, vier- oder sechszähligen Symmetrien erlaubt. Die fünf-, acht- oder zwölfzählige Symmetrien gelten im Reich der periodischen Kristalle als verboten. Bedeckt man beispielsweise eine Fläche mit Fünfecken, bleiben stets unregelmäßige Lücken.

Quasikristalle © Universität Halle-Wittenberg Vergrößern Quasikristalline Oberflächenstruktur von Bariumtitanat

In dem nur wenige Atomlagen dicken Film Bariumtitanat fanden die Forscher ein Muster, bei dem die Atome sich zu Dreiecken, Quadraten und Rhomben anordneten. Es ergab sich ein übergeordnetes Muster mit zwölffacher Drehsymmetrie, das zwar äußerst regelmäßig wirkte, aber keine periodische Wiederholung aufwies. Auffällig war auch die Selbstähnlichkeit des Musters: Die Bauvorschrift für den Kristall fand sich in dem Bariumtitanat-Film auf verschiedenen Größenskalen wieder. Offenbar wird die Entstehung von Quasikristallen durch das Aufeinandertreffen von zwei verschiedenen Materialien begünstigt. Der Platinkristall besitzt eine charakteristische dreidimensionale Struktur, genauso wie normales Bariumtitanat. Treffen jedoch beide Materialien aufeinander, werden an der Grenzfläche die Atome des aufgedampften Oxids gezwungen, ihre Anordnung zu verändern.

Quasikristalle © Wolf Widdra Vergrößern Die atomare Struktur der Quasikristallschicht, die Graphik illustriert die zwölfzählige Symmetrie

Auch Shechtman fand seine ersten Quasikristalle, indem er eine zuvor erhitzte Legierung auf eine kalte Oberfläche spritzte. Die Metallatome erstarrten daraufhin zu Quasikristallen, anstatt ihr gewohntes periodisches Muster auszubilden. Die Vorgehensweise der Physiker aus Halle bietet eine Möglichkeit zu testen, ob weitere Oxide oder auch andere Substanzen Quasikristalle bilden. Interessant ist das auch deshalb, weil die ungewöhnliche Struktur neue Eigenschaften bedingen kann. Das quasikristalline Bariumtitanat scheint beispielsweise besonders hart zu sein.

Quasikristalle © Maike Glöckner Vergrößern Klaus Meinel, Wolf Widdra, Stefan Förster, Martin Trautmann, René Hammer (v.l.n.r.)

Quasikristalle gleichen in ihrem Aufbau den Mustern und Ornamenten, die maurische Baumeister aus Kacheln schufen, wie man sie im Alhambra-Palast in Granada oder in Iran findet. Die islamischen Fliesenmuster inspirierten viele Mathematiker, sich mit Symmetrieeigenschaften zu beschäftigen.

So befasste sich der Brite Roger Penrose eingehend mit der Frage, wie man eine Fläche mit identischen Formen lückenlos füllen kann, so dass kein regelmäßiges Muster entsteht. Er fand heraus, dass dies nur mit zwei verschieden geformten Rauten gelingen kann. In den nach ihm benannten Penrose-Mustern gibt es immer wieder Bereiche mit fünf- oder zehnzähliger Symmetrien, die sich jedoch nicht periodisch wiederholen.

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Erst vor wenigen Jahren wurde der erste natürliche Quasikristall entdeckt. Italienische und amerikanische Wissenschaftler stießen in den Karyak-Bergen auf der Kamtschatka-Halbinsel auf ein Mineral aus Aluminium, Kupfer und Eisen. Als sie es analysierten, entdeckten sie dabei eine fünffache Symmetrie.

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