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Algebra : Von natürlich bis hyperkomplex

Die Hierarchie der Zahlenmengen. Jede Fläche repräsentiert eine Erweiterung, welche die vorangegangene enthält. Die Mengen werden durch Großbuchstaben mit Doppelstrich repräsentiert: N steht für die natürlichen Zahlen, Z für die ganzen, Q für die rationalen, R für die reellen und C für die Zahlen. H bezeichnet die Quaternionen, O die Oktonionen und S die Sedenionen. Bild: F.A.Z. Grafik André Piron

Zahlen gibt es in einer Vielfalt von Sorten. Einige sind prominent, aber etwas beschränkt, andere überaus mächtig. Eine Reise an die Grenzen der Algebra.

          Nun, Papa, kannst du Tripletts multiplizieren?“ So begrüßten der achtjährige Archibald Hamilton und sein um ein Jahr älterer Bruder William Edwin ihren Vater, sobald dieser zum Frühstück erschienen war. Jeden Morgen wiederholte sich die Szene in der bürgerlichen Wohnung in Dublin, über zwei Wochen in der ersten Oktoberhälfte des Jahres 1843 hinweg. Und jedes Mal schüttelte der Angesprochene traurig den Kopf. „Nein, ich kann sie nur addieren und subtrahieren.“

          Ulf von Rauchhaupt

          verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.

          Dabei war Sir William Rowan Hamilton (1805 bis 1860) einer der schlausten Köpfe seiner Zeit. Der Mathematiker und Physiker hatte die moderne theoretische Mechanik begründet. Er beherrschte ein Dutzend klassischer und moderner Sprachen, las zur Entspannung arabische und persische Texte, war als Zweiundzwanzigjähriger zum Professor ernannt worden, bevor er überhaupt sein Studium abgeschlossen hatte, und seit seiner Kindheit ein Meister darin, komplizierte Berechnungen im Kopf durchzuführen. Doch diese Tripletts wollten und wollten sich einfach nicht multiplizieren lassen.

          Zahlen sind wie Kunst. Oder wie Pornos.

          Jahrelang hatte ihn das Problem schon beschäftigt. Ein Triplett ist hier eine Liste aus drei numerischen Werten, mit der man zum Beispiel die Position eines Punktes im dreidimensionalen Raum angeben kann. Wie praktisch wäre es da, dachte sich Hamilton, wenn man mit solchen Tripletts richtig rechnen könnte, sie also nicht nur addieren und voneinander abziehen, sondern auch multiplizieren und dividieren könnte wie Zahlen. Soll heißen, wie mit reellen Zahlen. Denn was das Wort „Zahl“ an sich bedeuten soll, ist in der Mathematik – von der viele denken, sie sei die Wissenschaft von den Zahlen – gar nicht genauer definiert. Für Mathematiker sind Zahlen vielmehr so etwas wie für andere Leute Kunstwerke oder pornographische Erzeugnisse: Sie erkennen sie, wenn sie welche sehen.

          Am Anfang waren das zunächst nur die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 4 und so fort. Ein mehr als 25.000 Jahre alter Knochen aus dem tschechischen Dolní Věstonice mit 55 in zwei Gruppen zu 30 und 25 aufgeteilte Kerben ist das früheste erhaltene Artefakt, das sich halbwegs sicher mit dem Zählen in Verbindung bringen lässt. Allerdings, rechnen kann man mit natürlichen Zahlen nur in beschränktem Umfang. Addieren und Multiplizieren geht zwar immer, doch Subtrahieren funktioniert nur, wenn eine kleinere von einer größeren Zahl abgezogen wird. Schon das Subtrahieren zweier gleich großer Zahlen führt zu etwas, das zunächst einmal nicht zu den natürliche Zahl gehört: auf die Null.

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