Mathematik Forscher entschlüsseln die Lie-Gruppe E8

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Wie ein buntes Mandala erscheint die Darstellung der Lie-Gruppe E8

Nach fast fünf Jahren intensiver Forschung haben Mathematiker um Jeffrey Adams von der University of Maryland in College Park eine der komplexesten mathematischen Strukturen entschlüsselt. Es handelt sich um die sogenannte Lie-Gruppe E8. Deren Elemente beschreiben die Art und Weise, wie ein 57-dimensionales geometrisches Objekt gedreht werden kann, ohne dass es dabei sein Aussehen verändert.

Von dem Ergebnis der Forscher um Adams könnten vor allem jene Physiker profitieren, die an einer einheitlichen und symmetrischen Beschreibung der vier Naturkräfte arbeiten. In ihren Modellen werden die Elementarteilchen von winzigen Saiten beschrieben, die in mindestens zehn Dimensionen beliebig schwingen können. Allerdings fehlt es noch an einem mathematischen Formalismus, mit dem sich die Vorgänge zufriedenstellend beschreiben lassen. Das könnte sich durch die Arbeit von Adams und seinen Kollegen ändern.

Existenz klar, Struktur noch unbekannt

Weil Drehungen addiert und wieder rückgängig gemacht werden können, bilden sie die Elemente einer Gruppe. Sind die Drehungen stetig und differenzierbar - wie es bei der Rotation einer Kugel, eines Zylinders oder eines Kegels der Fall ist -, spricht man von einer Lie-Gruppe der einfachsten Art.

Diese Gruppe ist nach dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie (1842-1899) benannt, der als Erster die Symmetrie-Eigenschaften von dreidimensionalen Objekten studierte. Das Konzept wurde später auf höhere Dimensionen erweitert, wodurch man auf weitere Lie-Gruppen stieß, unter anderem auf die Gruppe E8. Deren Existenz ist zwar seit rund hundert Jahren bekannt, aber über ihre Struktur wusste man bislang nur wenig.

Forscher errechnen Elemente von E8

Wie bei allen Drehungen werden die Elemente der Gruppe E8 durch quadratische Matrizen dargestellt. Das ist eine spezielle Anordnung von Zahlen oder anderen Einträgen in Tabellenform. Allerdings handelt es sich im Fall von E8 um keine Matrizen mit jeweils drei Zeilen sowie drei Spalten und damit neun Elementen wie bei Drehungen im dreidimensionalen Raum. Da E8 die Symmetrie eines 57-dimensionalen Körpers beschreibt, der auf 248 verschiedene Arten gedreht werden kann, hat man es hier mit 248 mal 248 Matrizen zu tun. Diese bringen es zusammen auf mehr als 200 Milliarden Komponenten.

Die Forscher um Adams haben die Elemente von E8 nun berechnet, wie in der Zeitschrift „Science“ (Bd. 315, S. 1647) berichtet wird. Danach befindet sich in jeder Zelle der E8-Matrizen eine Konstante oder ein Polynom bis zum 31. Grad. Für ihre Rechnungen verwendeten Adams und seine Kollegen den Supercomputer „Sage“ der University of Washington und einen speziell entwickelten Algorithmus.

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Mathematik: Forscher entschlüsseln die Lie-Gruppe E8

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Forscher entschlüsseln die Lie-Gruppe E8

Von Manfred Lindinger

Fast fünf Jahren hat es gedauert. Nun endlich haben Mathematiker eine der komplexesten mathematischen Strukturen entschlüsselt: die Lie-Gruppe E8. Zahlreiche Wissenschaftler könnten in Zukunft davon profitieren.

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