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Baufinanzierung

Denkfehler, die uns Geld kosten (47) Das Spiel mit Wahrscheinlichkeiten

Bei der Einschätzung von Gewinnchancen vertrauen wir oft unserer Intuition. Doch statt dem Bauchgefühl zu folgen, sollten wir lieber nachrechnen.

© F.A.S. Vergrößern

Sie sind auf einer langweiligen Party? Hier ist ein Tipp, wie Sie eine wundervolle Diskussion vom Zaun brechen können. Erzählen Sie die Geschichte von der Monty-Hall-Show, die in den sechziger Jahren im amerikanischen Fernsehen zu sehen war. Am Ende dieser Show bekam ein Kandidat die Chance, ein teures Auto zu gewinnen, indem er die richtige von drei Türen wählte. Hinter den falschen Türen standen Ziegen.

Der Kandidat wählte also eine der drei Türen. So weit, so wenig interessant. Aber dann kam der eigentliche Clou der Show. Nehmen wir an, der Kandidat hat die Tür 1 gewählt. Der Showmaster öffnet eine der beiden verbleibenden Türen - sagen wir Tür 2 -, hinter der eine Ziege steht und stellt darauf die Frage, an der sich die Gemüter der Partygäste erhitzen werden: „Bleiben Sie bei Tür 1, oder wollen Sie zu Tür 3 wechseln?“

Überraschung für die Partygemeinde

Die Sache scheint klar zu sein: Es sind noch zwei Türen geschlossen - hinter der einen steht das Auto, hinter der anderen die Ziege. Da der Kandidat keine Ahnung hat, welches die richtige Tür ist, sollte es gleichgültig sein, ob er wechselt oder nicht. In jedem Fall gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent, werden die meisten Partygäste sagen.

Aber jetzt kommt Ihr Moment. Sie überraschen die Partygemeinde mit der Behauptung, dass sich durch Wechseln die Gewinnwahrscheinlichkeit verdoppeln lässt! Seien Sie sicher, Sie werden Protest ernten. Am Ende liefern Sie folgende Erklärung für ihre Behauptung, die die meisten Partygäste (aber sicher nicht alle) überzeugen wird:

Mit der Wahrscheinlichkeit von einem Drittel steht das Auto hinter der Tür 3. In diesem Fall ist der Quizmaster gezwungen, die Tür 2 zu öffnen und er zeigt Ihnen - indem er die Tür 3 nicht öffnet -, wo das Auto stehen könnte. Ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit von einem Drittel steht der Wagen hinter der Tür 2, und wieder würde der Quizmaster Ihnen das zeigen, weil er jetzt diese Tür geschlossen lassen müsste und Tür 3 öffnet. Nur im dritten Fall - das Auto steht hinter der Tür 1 - hilft ihnen der Showmaster nicht auf die Sprünge und es wäre die richtige Entscheidung, nicht zu wechseln. Das bedeutet: Beim Wechseln der Tür beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit zwei Drittel, ohne Wechsel nur ein Drittel.

Zusätzliche Information richtig verarbeiten

Mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit werden Sie nicht alle Partygäste mit dieser Erklärung überzeugen. Seien Sie gewarnt, solche Diskussionen können auch gute Freundschaften ernsthaft gefährden. Aber Ihr Argument ist vollkommen korrekt, auch wenn es unserer Intuition komplett widerspricht. Was man leicht übersieht, ist eben, dass der Showmaster uns durch das Öffnen der Tür zusätzliche Informationen verschafft - jedenfalls in zwei von drei Fällen. Es geht also darum, dass wir diese zusätzliche Information richtig verarbeiten, wenn wir in der Monty-Hall-Show die richtige Entscheidung treffen wollen. Aber genau darum geht es eben nicht nur dort, sondern bei vielen wichtigen Entscheidungen. Zuvor sammeln wir in aller Regel Informationen, aber gehen wir damit auch richtig um?

Dazu müssten wir wissen, wie man von der sogenannten A-priori-Wahrscheinlichkeit (lateinisch: „vom Früheren her“) zu der A-posteriori-Wahrscheinlichkeit (vom Späteren her) kommt. Ein Beispiel: Sie überlegen sich, ob Sie eine Aktie kaufen sollen. Sie sind sehr optimistisch und erwarten, dass der Kurs mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 Prozent im nächsten Quartal steigt. Einen Verlust befürchten Sie nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 Prozent. Das sind

die A-priori-Wahrscheinlichkeiten, über die Sie zunächst verfügen. Jetzt kommt ein bekannter Analyst und sagt voraus, dass der Aktienkurs fallen wird. Nehmen wir an, Sie wissen aus Erfahrung, dass der Analyst in 80 Prozent der Fälle recht hat. Sollten Sie jetzt die Aktie nicht kaufen, weil sie viel zu riskant ist?

Der Satz von Bayes

Wenn Sie die Information des Analysten richtig verarbeiten, und die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, mit der Aktie Verlust zu machen, dann werden Sie zu dem Ergebnis kommen, dass auch nach der pessimistischen Prognose des Experten die Verlustwahrscheinlichkeit nur knapp über 17 Prozent liegt. Wie gesagt, wenn Sie richtig gerechnet haben. Dazu müssen Sie eine Regel anwenden, die sich aus dem berühmten Satz von Thomas Bayes ableitet und mit dem man die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen kann, dass der Kurs fällt - unter der Annahme, Sie beobachten das Signal des Analysten und kennen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es richtig ist.

Selbst Profis vergessen jedoch häufig, den Satz von Bayes anzuwenden. Dass es alles andere als trivial ist, Informationen richtig zu verarbeiten, zeigt ja gerade das Drei-Türen-Beispiel. Aber mit der Rechenregel von Bayes können wir ausrechnen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei zwei Dritteln liegt, wenn man wechselt, und bei einem Drittel, wenn man bei der ersten Tür bleibt. Wir sind es nicht gewohnt, mit Wahrscheinlichkeiten umzugehen. Aber genau das müssen wir tun, wenn wir Entscheidungen unter Unsicherheit auf der Basis von Informationen treffen, die eben nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zutreffen.

Das ist der Normalfall - nicht nur beim Aktienkauf und in Fernsehshows. Auch Ärzte sind permanent mit diesem Problem konfrontiert, denn sie müssen wissen, wie ein neuer Befund (beispielsweise das Auftreten eines bestimmten Symptoms) die Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen einer bestimmten Krankheit verändert. Man kann als Patient darum nur hoffen, dass die Ärzte den Satz von Bayes gut kennen. Als Anleger hat man es selbst in der Hand, richtig zu rechnen - im Kasten unten steht, wie es geht.

Der Autor ist Wirtschaftsprofessor in Magdeburg.

Das Ziegenproblem

Die Falle

Wir verarbeiten die Informationen, die unsere Unsicherheit reduzieren könnten, nicht richtig.

Die Gefahr

Wir verlassen uns auf unsere Intuition, anstatt nachzurechnen, und kommen zu grob falschen Einschätzungen.

Die Abhilfe

Da hilft nur rechnen. Der Satz von Bayes zum sogenannten Ziegenproblem ist allerdings etwas für Experten: Die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis x1 (das Auto steht hinter Tür 1) eintritt, gegeben man hat das Signal y3 beobachtet (der Showmaster hat Tür 3 geöffnet), ist gleich der a-priori-Wahrscheinlichkeit für x1 (also 1/3) multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit dafür, dass y3 beobachtet wird, wenn x1 der Wahrheit entspricht (also 1/2 - wenn das Auto hinter der Tür 1 steht, öffnet der Showmaster nämlich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent entweder Tür 2 oder 3) -, dividiert durch die totale Wahrscheinlichkeit dafür, dass y3 beobachtet wird (also 1/2).

Quelle: F.A.S.

 
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Veröffentlicht: 14.01.2013, 11:32 Uhr

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