14.01.2013 · Bei der Einschätzung von Gewinnchancen vertrauen wir oft unserer Intuition. Doch statt dem Bauchgefühl zu folgen, sollten wir lieber nachrechnen.
Von Joachim WeimannRichtlinien für Lesermeinungen
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Es wäre allerdings unklug von den Spielleitern solche zwei Regeln
aufzustellen, denn somit kann der Kandidat eine Taktik entwickeln mit
der er immer dem Quiz-Master überlegen ist, also häufiger gewinnt.
In der Realität war dies denn auch nicht so. Der Moderator, Monty
Hall, hätte auch gleich die erste vom Kandidaten gewählte
Tür öffnen können, ohne zuvor einen Wechsel anzubieten.
Artikel unvollständig - 2 wichtige Spielregeln werden vergessen!
Hier die ausschlaggebenden Voraussetzungen dafür, dass die im
Artikel getroffene Aussage stimmt: Der Kandidat darf eine der Türen
wählen; anschließend öffnet der Showmaster, der
weiß, was hinter den Türen ist, eine der verbleibenden zwei
Türen, und zwar immer so, dass auf jeden Fall eine Tür mit
Ziege geöffnet wird, so dass das Auto also hinter einer der noch
verschlossenen Türen sein muss.
1) Show-Master weiß, was hinter den Türen steckt (und
Kandidat weiß, dass Show-Master dies weiß!)
2) Show-Master muss immer dieser Regel folgen: Es wird in jedem Fall
eine Tür mit Ziege geöffnet bevor der Kandidat wieder vor die
Wahl gestellt wird.
Falls nach diesen Regeln gespielt wird (und nur dann!), verringert sich
natürlich die W'keit dafür, dass hinter der Tür die man
nicht gewählt hat und die der Quiz-Master verschlossen gelassen hat
eine Ziege steht. Da der Quiz-Master schon eine gewisse Vorauswahl
getroffen hat, falls nicht zwei Ziegen hinter den nicht gewählten
Türen stecken.
3) Der Quiz-Master weiß, was sich hinter den Türen befindet
und möchte verhindern, dass der Kandidat gewinnt. Falls der
Kandidat nun auf Anhieb die falsche Tür (mit Ziege dahinter)
wählt, wird er keine Alternative anbieten und diese Tür
öffnen, der Kandidat hat dann verloren.
Falls der Kandidat die Tür mit dem Gewinn dahinter gewählt
hat, wird der Show-Master ihm eine Alternative bieten. Er öffnet
eine Tür mit einer Ziege dahinter und fragt ob der Kandidat
wechseln möchte. Denn durch diese Frage stehen die Chancen, dass
der Kandidat nicht gewinnt jetzt bei 50%. Falls man also weiß,
dass dem Show-Master bekannt ist, was hinter den Türen ist und man
auch weiß, dass er verhindern will, dass man gewinnt, sollte man
bei seiner alten Entscheidung bleiben und nicht wechseln.
Fazit: Solche Spiele machen keinen Sinn mehr, sobald man weiß,
wieviel dem Show-Master bekannt ist und man dessen Intentionen kennt.
Denn dann könnte man vorausplanen. Somit muss dies ungewiss bleiben.
Artikel kommt zur falschen Lösung
Es gibt folgende drei Möglichkeiten:
1) Der Quiz-Master weiß nicht, hinter welcher der drei Türen
der Gewinn steckt. Somit kann er dem Kandidaten weder helfen noch ihm
schaden. Somit ist dann die W'keit immer 1/2 nach dem Öffnen einer
Tür. (es bleiben 2 Türen)
2) Der Quiz-Master weiß hinter welcher Tür der Gewinn steckt
und möchte dem Kandidaten helfen. Somit fragt er nur, sobald der
Kandidat die falsche Tür wählt (die Tür, hinter der kein
Gewinn steckt) ob dieser wechseln will nachdem er die eine Tür
geöffnet hat. Sonst fragt er nicht, öffnet die gewünschte
Tür 1 und der Kandidat hat gewonnen.
Wenn man also weiß, dass der Quiz-Master weiß was hinter den
Türen ist und auch weiß, dass er einem helfen will, dann
weiß man, dass (nachdem der Quiz-Master die Tür zwei mit der
Ziege geöffnet und die Frage gestellt hat) Tür 1 die falsche
Wahl ist und Tür 3 die richtige Wahl! Und dies weiß man dann
zu 100%.
Zunächst: Wir reden über Wahrscheinlchkeiten, also über
relative Häufigkeiten, die sich ergeben, wenn ein Vorgang unendlich
oft wiederholt wird. Meine Wahl ist entweder richtig oder falsch, aber
nicht zu 1/3 oder 2/3.
Habe ich drei Lose in einer Lostrommel, 2 Nieten und einen Gewinn, und
es wird eine Niete entfernt, dann erhöht sich für eine
Ziehung die Erfolgswarscheinlichkeit von 1/3 auf 1/2. Das Gleiche gilt,
wenn ich zwar schon eine Wahl getroffen hatte, solange sich noch drei
Elemente in der Trommel befanden, ich aber nach Entfernen einer Niete
nicht an meine ursprüngliche Loswahl gebunden bleibe, sondern mich
neu für eine der beiden verbleibenden Lose entscheiden kann. Bei
der zweiten Wahl bin ich dann so gestellt, wie jemand, der von
vornherein nur zwei Lose vorgefunden hat. Wichtig: Nicht die
Entscheidung für den Wechsel, sondern für ein Los entscheidet
über einen Treffer.
Extrem IQ
"Nur Menschen mit Extrem-IQ liegen auf Anhieb richtig" ?
Nun, das möchte ich stark anzweifeln. Schon im Mathe-LK hatten wir
beispielsweise weit weit komplexere Sachlagen in Stochastik zu
lösen. Dies hier ist doch eher ein recht simples Problem.
Nur Menschen mit Extrem-IQ liegen auf Anhieb richtig!
So habe ich das spontan auch gesehen - und dies war definitiv falsch!
Wie ich seit heute weiß, ist alles gut erforscht und der Autor hat
recht. Man übersieht leicht, dass sich der Informationsgehalt der
verbliebenen zwei Lose durch die Intervention des Moderators ungleich
veränderte, nicht symmetrisch.
Anfangs hatte der Spieler über alle drei Lose die gleiche
Information, weswegen die Gewinnchance je 1/3 betrug. Auf das vom
Spieler gewählte Los hatte der Moderator jedoch keinen Zugriff,
denn er hätte es aufgrund der Spielregeln überhaupt nicht als
Niete entlarven können, selbst wenn er gewollt hätte.
Das ist bei dem alternativen Los anders. Das nach Entfernung einer Niete
verbliebene Los trägt durch den Moderatorenentscheid ein Mehr an
Information, der Gewinn zu sein. Davon profitiert indirekt auch das
okkupierte Los, nur weniger. Aus dieser Informationsungleichheit
resultieren unterschiedliche Chancen. So erkläre ich mir das
kontraintuitive Ergebnis bzw. die Notwendigkeit von Bayes.
Das Spiel mit Wahrscheinlichkeiten
Einfache Erklaerung,
Tuer wohinter sich das Auto befindet: 1 1 1 2 2 2 3 3 3
Gewaehlte Tuer des Kandidaten 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Bei nicht Wechsel gewinnt der Kandidat nur bei 1 2 3
1 2 3
Wechselt der Kandidat gewinnt er bei 1 1 2 2 3 3
2 3 1 3 1 2
Beispiel: Das Auto befindet sich hinter 1, der Kandidat hat eins
gewaehlt, wechselt nicht
und gewinnt. Das Auto befindet sich hinter 1, der Kandidat waehlt 2, der Presentator
oeffnet 3 und fragt ob der Kandidat wechseln moechte, der kandidat
wechselt nach 1 und gewinnt.
Ino
Neben den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit sollten auch die der Logik
bekannt sein.
Die Geschichte ist unvollständig und die Frage kann daher nicht
eindeutig beantwortet werden. Die im Artikel vorgegebene Lösung ist
nur unter folgenden Grundannahmen möglich:
1.) Dem Moderator ist bekannt, hinter welcher Tür sich der Gewinn befindet.
2.) Der Moderator will dem Kandidaten helfen.
3.) Der Moderator kann frei entscheiden, ob er eine Tür öffnet
und wenn ja, welche.
Zu allen drei Fragen gibt es aber keine Aussage, daher auch keine
Änderung der Wahrscheinlichkeit.
Der Kommentator im Fernsehen kennt natürlich immer die richtige Tür
Der Gewinnvorteil liegt im Ausnutzen der 2-fachen Wahlmöglichkeit bei 3 Türen. Bleibt der Kandidat immer bei seiner 1.Wahl, nutzt er die 2.Wahlmöglichkeit nicht und verringert seine Chancen.
Einleuchtendes Beispiel aber auch eine Unwahrscheinlichkeit...
"Hier ist ein Tipp, wie Sie eine wundervolle Diskussion vom Zaun
brechen können." unwahrscheinlich, da diese Geschichte uralt
ist und heute wohl jedes Kind kennt.
Ich erkläre die "Lösung" immer anders: Variante 1:
Nachdenken, der Moderator bekommt zwei Tore der Kandidat nur eins. Wer
hat also höhere Chancen? Der mit den zwei oder der mit dem einem Tor?
Variante 2: Das Beispiel übertreiben. Es wären 100 Tore. Der
Kandidat wählt wieder eins. Wer hat jetzt wohl die höheren
Chancen? Der Moderator mit den 99? Wenn der jetzt fragen würde,
möchten sie ihr Tor behalten oder meine 99 Was würde man wohl
sagen? Wann jetzt die 99 Tore geöffnet werden (nacheinander oder
alle auf einmal) ändert ja nichts.
Hoechst Umstrittene Sachlage- Es kommt auf den Moderator an
Die Sachlage ist keineswegs so eindeutig, wie hier dargestellt.
In der Realitaet ist die Sache abhaengig vom Moderator.
Nehmen wir an, der Moderator weiss nicht was hinter den Toren ist,
sondern es wird willkuerlich ein Ziegentor geoeffnet.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit fuer beide Tore absolut unabhaengig von
der ersten Entscheidung, durch das wegfallen einer Ziege erhoert sich
die Chance von 1/3 auf 1/2.
Ein Wechsel des Tors bewirkt nur, das das gewaehlte Tor (zum Zeitpunkt
der Wahl mit 1/3, jetzt aber mit 1/2) durch ein anderes Tor mit 1/2
ersetzt wird.
Moderator
Die Rechnung im Artikel beruht auf der impilizten Annahme, dass der
Operator in jedem Fall ein anderes Tor oeffnen und die Gelegenheit zum
wechseln des Tores geben muss.
Wenn es hingegen dem Moderator freigestellt ist, kein weiteres Tor zu
oeffnen, dann kommt es auf die Strategie des Moderators an. Falls
beispielsweise der Moderator nur dann ein weiteres Tor oeffnet wenn der
Kandidat auf das Autotor deutet, dann wuerde die Kandidatenstrategie
"Immer wechseln" die Erfolgswahrscheinlichkeit auf 0 druecken.
Absolut richtig
Es wird implizit angenommen, dass der Moderator weiß, hinter
welchem Tor sich das Auto verbirgt. Weiß er dies aber nicht und
hat er die Entscheidungsgewalt, theoretisch kein Tor nach der
Entscheidung des Spielers zu öffnen, dann beträgt die
Wahrscheinlichkeit 1/2.
Die Antwort, dass 2/3 die richtige Antwort auf diese Frage ist, ist in
der Fachwelt nicht unumstritten eben aufgrund des dargestellten
Sachverhalts. Ein Blick auf den Wikipedia Artikel mit Stichwort
Ziegenproblem kann hier Aufklärung leisten.
Mehrere Versuche sind notwendig
Das Beispiel der Monty-Hall-Show ist sicherlich richtig. Nur kann man bei einem einzigen Versuch den Vorteil meines Erachtens vernachlässigen. Je mehr Versuche man macht, umso deutlicher wird der Vorteil des Wechsels zur anderen Tür sein.
Die Antwort liegt in einem Wechsel der Variablen.
Wenn man bei drei Türen am Anfang bspw. Tür Nr. 1 wählt,
hat man eine 33,3 %ige Chance.
Wenn eine Tür nun offen ist, und der Kandidat nochmal wählen
darf, sind es nun 66,7 %, wenn er wechselt.
Der Kandidat wechselt also und sagt: "Danke für die
zusätzlichen 33,3 % ! ".
Die restlichen Partygäste noch überzeugen.
Vielleicht kann man die restlichen Partygäste noch mit folgender
Erklärung überzeugen:
Annahme: Ich stehe vor Tor 1.
Das Auto sei hinter Tor 1 und ich wechsle, dann habe ich verloren. Ist
das Auto aber hinter Tor 2, so MUSS der Showmaster Tor 3 öffnen und
ich wechsle zu Tor 2 und habe gewonnen. Ist das Auto aber hinter Tor 3,
so MUSS der Showmaster Tor 2 öffnen und ich wechsle zu Tor 3 und
habe gewonnen. In 2 von 3 Wechseln gewinne ich also. Aus
Symmetriegründen gilt dasselbe natürlich, wenn ich vor Tor 2
oder 3 stehe.
Man liegt beim ersten Wählen der Tür mit 2/3 falsch und mit
1/3 richtig, wenn nun eine falsche Tür entfernt wird, dann ist die
gewählte weiterhin mit 2/3 falsch und mit 1/3 richtig, ergo wechsle
ich die TÜr um mit 2/3 richtig zu liegen.
Ich habe die frage mit den drei Türen schon öfter Ingenieuren
gestellt (die meisten anderen verstehen die Frage nicht, weil sie von
Wahrscheinlichkeitsrechnung noch nie gehört haben). Alle antworten,
daß die Wahrscheinlichkeit (ein Drittel), den Preis zu gewinnen,
sich nicht ändert, indem eine weitere Tür geöffnet wird.
Den Schlüssel zum Verständnis liefert eine Erweiterung: Nehmen
wir an, man sucht eine von zehn Türen aus, woraufhin der Moderator
acht der anderen Türen ohne Preis dahinter öffnet. In dem Fall
sagt bei den meisten auch die Intuition, daß man zu der einen noch
nicht geöffneten Tür wechseln sollte.
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