Home
http://www.faz.net/-hc1-75p90
HERAUSGEGEBEN VON WERNER D'INKA, BERTHOLD KOHLER, GÜNTHER NONNENMACHER, FRANK SCHIRRMACHER, HOLGER STELTZNER
 

Denkfehler, die uns Geld kosten (47) Das Spiel mit Wahrscheinlichkeiten

 ·  Bei der Einschätzung von Gewinnchancen vertrauen wir oft unserer Intuition. Doch statt dem Bauchgefühl zu folgen, sollten wir lieber nachrechnen.

Artikel Bilder (1) Lesermeinungen (18)
Lesermeinungssuche (gesamt):
Sortieren nach
Kerstin Müller

Fazit

Es wäre allerdings unklug von den Spielleitern solche zwei Regeln aufzustellen, denn somit kann der Kandidat eine Taktik entwickeln mit der er immer dem Quiz-Master überlegen ist, also häufiger gewinnt.
In der Realität war dies denn auch nicht so. Der Moderator, Monty Hall, hätte auch gleich die erste vom Kandidaten gewählte Tür öffnen können, ohne zuvor einen Wechsel anzubieten.

Empfehlen
Kerstin Müller

Artikel unvollständig - 2 wichtige Spielregeln werden vergessen!

Hier die ausschlaggebenden Voraussetzungen dafür, dass die im Artikel getroffene Aussage stimmt: Der Kandidat darf eine der Türen wählen; anschließend öffnet der Showmaster, der weiß, was hinter den Türen ist, eine der verbleibenden zwei Türen, und zwar immer so, dass auf jeden Fall eine Tür mit Ziege geöffnet wird, so dass das Auto also hinter einer der noch verschlossenen Türen sein muss.
1) Show-Master weiß, was hinter den Türen steckt (und Kandidat weiß, dass Show-Master dies weiß!)
2) Show-Master muss immer dieser Regel folgen: Es wird in jedem Fall eine Tür mit Ziege geöffnet bevor der Kandidat wieder vor die Wahl gestellt wird.

Falls nach diesen Regeln gespielt wird (und nur dann!), verringert sich natürlich die W'keit dafür, dass hinter der Tür die man nicht gewählt hat und die der Quiz-Master verschlossen gelassen hat eine Ziege steht. Da der Quiz-Master schon eine gewisse Vorauswahl getroffen hat, falls nicht zwei Ziegen hinter den nicht gewählten Türen stecken.

Empfehlen
Kerstin Müller

Fortsetzung

3) Der Quiz-Master weiß, was sich hinter den Türen befindet und möchte verhindern, dass der Kandidat gewinnt. Falls der Kandidat nun auf Anhieb die falsche Tür (mit Ziege dahinter) wählt, wird er keine Alternative anbieten und diese Tür öffnen, der Kandidat hat dann verloren.
Falls der Kandidat die Tür mit dem Gewinn dahinter gewählt hat, wird der Show-Master ihm eine Alternative bieten. Er öffnet eine Tür mit einer Ziege dahinter und fragt ob der Kandidat wechseln möchte. Denn durch diese Frage stehen die Chancen, dass der Kandidat nicht gewinnt jetzt bei 50%. Falls man also weiß, dass dem Show-Master bekannt ist, was hinter den Türen ist und man auch weiß, dass er verhindern will, dass man gewinnt, sollte man bei seiner alten Entscheidung bleiben und nicht wechseln.

Fazit: Solche Spiele machen keinen Sinn mehr, sobald man weiß, wieviel dem Show-Master bekannt ist und man dessen Intentionen kennt. Denn dann könnte man vorausplanen. Somit muss dies ungewiss bleiben.

Empfehlen
Kerstin Müller

Artikel kommt zur falschen Lösung

Es gibt folgende drei Möglichkeiten:

1) Der Quiz-Master weiß nicht, hinter welcher der drei Türen der Gewinn steckt. Somit kann er dem Kandidaten weder helfen noch ihm schaden. Somit ist dann die W'keit immer 1/2 nach dem Öffnen einer Tür. (es bleiben 2 Türen)

2) Der Quiz-Master weiß hinter welcher Tür der Gewinn steckt und möchte dem Kandidaten helfen. Somit fragt er nur, sobald der Kandidat die falsche Tür wählt (die Tür, hinter der kein Gewinn steckt) ob dieser wechseln will nachdem er die eine Tür geöffnet hat. Sonst fragt er nicht, öffnet die gewünschte Tür 1 und der Kandidat hat gewonnen.
Wenn man also weiß, dass der Quiz-Master weiß was hinter den Türen ist und auch weiß, dass er einem helfen will, dann weiß man, dass (nachdem der Quiz-Master die Tür zwei mit der Ziege geöffnet und die Frage gestellt hat) Tür 1 die falsche Wahl ist und Tür 3 die richtige Wahl! Und dies weiß man dann zu 100%.

Empfehlen
Walter Brockes

Gegensätzliche Meinung

Zunächst: Wir reden über Wahrscheinlchkeiten, also über relative Häufigkeiten, die sich ergeben, wenn ein Vorgang unendlich oft wiederholt wird. Meine Wahl ist entweder richtig oder falsch, aber nicht zu 1/3 oder 2/3.
Habe ich drei Lose in einer Lostrommel, 2 Nieten und einen Gewinn, und es wird eine Niete entfernt, dann erhöht sich für eine Ziehung die Erfolgswarscheinlichkeit von 1/3 auf 1/2. Das Gleiche gilt, wenn ich zwar schon eine Wahl getroffen hatte, solange sich noch drei Elemente in der Trommel befanden, ich aber nach Entfernen einer Niete nicht an meine ursprüngliche Loswahl gebunden bleibe, sondern mich neu für eine der beiden verbleibenden Lose entscheiden kann. Bei der zweiten Wahl bin ich dann so gestellt, wie jemand, der von vornherein nur zwei Lose vorgefunden hat. Wichtig: Nicht die Entscheidung für den Wechsel, sondern für ein Los entscheidet über einen Treffer.

Empfehlen
Antworten (2) zu dieser Lesermeinung anzeigen neueste Antwort: 17.01.2013 10:53 Uhr
Kerstin Müller

Extrem IQ

"Nur Menschen mit Extrem-IQ liegen auf Anhieb richtig" ?
Nun, das möchte ich stark anzweifeln. Schon im Mathe-LK hatten wir beispielsweise weit weit komplexere Sachlagen in Stochastik zu lösen. Dies hier ist doch eher ein recht simples Problem.

Empfehlen
Alex Hess
Alex Hess (Leser2013) - 15.01.2013 17:49 Uhr

Nur Menschen mit Extrem-IQ liegen auf Anhieb richtig!

So habe ich das spontan auch gesehen - und dies war definitiv falsch! Wie ich seit heute weiß, ist alles gut erforscht und der Autor hat recht. Man übersieht leicht, dass sich der Informationsgehalt der verbliebenen zwei Lose durch die Intervention des Moderators ungleich veränderte, nicht symmetrisch.

Anfangs hatte der Spieler über alle drei Lose die gleiche Information, weswegen die Gewinnchance je 1/3 betrug. Auf das vom Spieler gewählte Los hatte der Moderator jedoch keinen Zugriff, denn er hätte es aufgrund der Spielregeln überhaupt nicht als Niete entlarven können, selbst wenn er gewollt hätte.

Das ist bei dem alternativen Los anders. Das nach Entfernung einer Niete verbliebene Los trägt durch den Moderatorenentscheid ein Mehr an Information, der Gewinn zu sein. Davon profitiert indirekt auch das okkupierte Los, nur weniger. Aus dieser Informationsungleichheit resultieren unterschiedliche Chancen. So erkläre ich mir das kontraintuitive Ergebnis bzw. die Notwendigkeit von Bayes.

Empfehlen
ino de Block
ino de Block (tiglio) - 14.01.2013 22:10 Uhr

Das Spiel mit Wahrscheinlichkeiten

Einfache Erklaerung,

Tuer wohinter sich das Auto befindet: 1 1 1 2 2 2 3 3 3
Gewaehlte Tuer des Kandidaten 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Bei nicht Wechsel gewinnt der Kandidat nur bei 1 2 3
1 2 3

Wechselt der Kandidat gewinnt er bei 1 1 2 2 3 3
2 3 1 3 1 2
Beispiel: Das Auto befindet sich hinter 1, der Kandidat hat eins gewaehlt, wechselt nicht
und gewinnt. Das Auto befindet sich hinter 1, der Kandidat waehlt 2, der Presentator
oeffnet 3 und fragt ob der Kandidat wechseln moechte, der kandidat wechselt nach 1 und gewinnt.

Ino

Empfehlen
Gerhard Müller
Gerhard Müller (racap) - 14.01.2013 17:46 Uhr

Auch Logik notwendig

Neben den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit sollten auch die der Logik bekannt sein.
Die Geschichte ist unvollständig und die Frage kann daher nicht eindeutig beantwortet werden. Die im Artikel vorgegebene Lösung ist nur unter folgenden Grundannahmen möglich:
1.) Dem Moderator ist bekannt, hinter welcher Tür sich der Gewinn befindet.
2.) Der Moderator will dem Kandidaten helfen.
3.) Der Moderator kann frei entscheiden, ob er eine Tür öffnet und wenn ja, welche.

Zu allen drei Fragen gibt es aber keine Aussage, daher auch keine Änderung der Wahrscheinlichkeit.

Empfehlen
Antwort (1) zu dieser Lesermeinung anzeigen neueste Antwort: 14.01.2013 18:57 Uhr
Fred Wentz
Fred Wentz (Herderfan) - 14.01.2013 18:57 Uhr

Der Kommentator im Fernsehen kennt natürlich immer die richtige Tür

Der Gewinnvorteil liegt im Ausnutzen der 2-fachen Wahlmöglichkeit bei 3 Türen. Bleibt der Kandidat immer bei seiner 1.Wahl, nutzt er die 2.Wahlmöglichkeit nicht und verringert seine Chancen.

Empfehlen
Markus Tischer

Hoechst Umstrittene Sachlage- Es kommt auf den Moderator an

Die Sachlage ist keineswegs so eindeutig, wie hier dargestellt.
In der Realitaet ist die Sache abhaengig vom Moderator.

Nehmen wir an, der Moderator weiss nicht was hinter den Toren ist, sondern es wird willkuerlich ein Ziegentor geoeffnet.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit fuer beide Tore absolut unabhaengig von der ersten Entscheidung, durch das wegfallen einer Ziege erhoert sich die Chance von 1/3 auf 1/2.
Ein Wechsel des Tors bewirkt nur, das das gewaehlte Tor (zum Zeitpunkt der Wahl mit 1/3, jetzt aber mit 1/2) durch ein anderes Tor mit 1/2 ersetzt wird.

Empfehlen
Antworten (2) zu dieser Lesermeinung anzeigen neueste Antwort: 14.01.2013 16:50 Uhr
Florian Theil
Florian Theil (f.theil) - 14.01.2013 16:50 Uhr

Moderator

Die Rechnung im Artikel beruht auf der impilizten Annahme, dass der Operator in jedem Fall ein anderes Tor oeffnen und die Gelegenheit zum wechseln des Tores geben muss.
Wenn es hingegen dem Moderator freigestellt ist, kein weiteres Tor zu oeffnen, dann kommt es auf die Strategie des Moderators an. Falls beispielsweise der Moderator nur dann ein weiteres Tor oeffnet wenn der Kandidat auf das Autotor deutet, dann wuerde die Kandidatenstrategie "Immer wechseln" die Erfolgswahrscheinlichkeit auf 0 druecken.

Empfehlen
Rick Steinert
Rick Steinert (Steelix) - 14.01.2013 16:11 Uhr

Absolut richtig

Es wird implizit angenommen, dass der Moderator weiß, hinter welchem Tor sich das Auto verbirgt. Weiß er dies aber nicht und hat er die Entscheidungsgewalt, theoretisch kein Tor nach der Entscheidung des Spielers zu öffnen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/2.

Die Antwort, dass 2/3 die richtige Antwort auf diese Frage ist, ist in der Fachwelt nicht unumstritten eben aufgrund des dargestellten Sachverhalts. Ein Blick auf den Wikipedia Artikel mit Stichwort Ziegenproblem kann hier Aufklärung leisten.

Empfehlen
Fred Wentz
Fred Wentz (Herderfan) - 14.01.2013 15:35 Uhr

Mehrere Versuche sind notwendig

Das Beispiel der Monty-Hall-Show ist sicherlich richtig. Nur kann man bei einem einzigen Versuch den Vorteil meines Erachtens vernachlässigen. Je mehr Versuche man macht, umso deutlicher wird der Vorteil des Wechsels zur anderen Tür sein.

Empfehlen
Mace McLain

Simple aber clever

Die Antwort liegt in einem Wechsel der Variablen.

Wenn man bei drei Türen am Anfang bspw. Tür Nr. 1 wählt, hat man eine 33,3 %ige Chance.
Wenn eine Tür nun offen ist, und der Kandidat nochmal wählen darf, sind es nun 66,7 %, wenn er wechselt.

Der Kandidat wechselt also und sagt: "Danke für die zusätzlichen 33,3 % ! ".

Empfehlen
Rudolf Kälin
Rudolf Kälin (rkaelin) - 14.01.2013 14:47 Uhr

Die restlichen Partygäste noch überzeugen.

Vielleicht kann man die restlichen Partygäste noch mit folgender Erklärung überzeugen:
Annahme: Ich stehe vor Tor 1.
Das Auto sei hinter Tor 1 und ich wechsle, dann habe ich verloren. Ist das Auto aber hinter Tor 2, so MUSS der Showmaster Tor 3 öffnen und ich wechsle zu Tor 2 und habe gewonnen. Ist das Auto aber hinter Tor 3, so MUSS der Showmaster Tor 2 öffnen und ich wechsle zu Tor 3 und habe gewonnen. In 2 von 3 Wechseln gewinne ich also. Aus Symmetriegründen gilt dasselbe natürlich, wenn ich vor Tor 2 oder 3 stehe.

Empfehlen
Felix Bäcker
Felix Bäcker (fhb1991) - 14.01.2013 12:46 Uhr

Einfachere Erklärung?

Man liegt beim ersten Wählen der Tür mit 2/3 falsch und mit 1/3 richtig, wenn nun eine falsche Tür entfernt wird, dann ist die gewählte weiterhin mit 2/3 falsch und mit 1/3 richtig, ergo wechsle ich die TÜr um mit 2/3 richtig zu liegen.

Empfehlen
Marvin Parsons
Marvin Parsons (mapar) - 14.01.2013 12:04 Uhr

Ein berühmtes Beispiel

Ich habe die frage mit den drei Türen schon öfter Ingenieuren gestellt (die meisten anderen verstehen die Frage nicht, weil sie von Wahrscheinlichkeitsrechnung noch nie gehört haben). Alle antworten, daß die Wahrscheinlichkeit (ein Drittel), den Preis zu gewinnen, sich nicht ändert, indem eine weitere Tür geöffnet wird.

Den Schlüssel zum Verständnis liefert eine Erweiterung: Nehmen wir an, man sucht eine von zehn Türen aus, woraufhin der Moderator acht der anderen Türen ohne Preis dahinter öffnet. In dem Fall sagt bei den meisten auch die Intuition, daß man zu der einen noch nicht geöffneten Tür wechseln sollte.

Empfehlen

14.01.2013, 11:32 Uhr

Weitersagen
Geld & Leben

"Meine Finanzen" hat die richtigen Tipps für jede Lebenslage. Zu welcher Gruppe gehören Sie?

Zinsen