http://www.faz.net/-gr3-13iau

Christian Hesse: Das Einmaleins des klaren Denkens : Am Fuß der Treppe wartet der Widerspruch

  • -Aktualisiert am

Bild: Verlag

Christian Hesse erläutert auf elementare Weise die Werkzeuge der Mathematiker und weiß dazu manche gute Geschichte zu erzählen. Man spürt, dass er das Material über Jahre liebevoll gesammelt hat. Sein Sinn für Komik ist gut entwickelt.

          Wie brät sich ein Mathematiker zwei Eier? Erster Fall: Die Eier sind im Keller. Dann bringt er sie in die Küche und brät sie. Zweiter Fall: Die Eier sind in der Küche. Dann trägt er sie hinunter in den Keller und geht zurück in die Wohnung. Damit ist das Problem auf den ersten Fall zurückgeführt. In Christian Hesses Buch über das „Das Einmaleins des klaren Denkens“ ist das neunte der Werkzeuge das „Spezialisierungsprinzip“. Man löst ein Problem, indem man zunächst einen Spezialfall behandelt und dann alle anderen Fälle darauf zurückführt. Wie man an diesem alten Beispiel sieht, funktioniert das sehr gut.

          Der Verlag verkauft das Buch als eine Einführung in klares Denken. Er hätte es klipp und klar eine Einführung in das mathematische Denken nennen sollen. Aber vielleicht hat man Angst, mit dem M-Wort ein paar potentielle Käufer zu vergraulen. Hesse ist Mathematikprofessor in Stuttgart, sein Buch ist ein Bauchladen, in dem man viel findet und viel nicht findet. Gerade das macht seinen Reiz aus.

          Triviales und Kompliziertes

          Man könnte das Wesen der Schreinerei beschreiben, indem man berichtete, wie ein Schreiner mit Säge, Hobel, Bohrer und so weiter arbeitet. Genau das wird hier für die Mathematik anhand ihrer effektivsten Werkzeuge auf elementare Weise durchgeführt. Das sind Werkzeuge wie zum Besipiel das „Randomisierungsprinzip“. Ein cleveres Beispiel einer Anwendung davon ist die folgende: Wie kann ich abschätzen, wie viele Fische in einem Teich sind? Ich fange n Stück davon, markiere sie alle mit einem roten Punkt und setze sie zurück. Dann fange ich erneut Fische. Wenn der Anteil der markierten Fische x Prozent ausmacht, dann müssen insgesamt ungefähr 100n/x Fische im Teich sein.

          Hesse mischt witzige Trivialbeispiele mit solchen, die man nur versteht, wenn man den Gedankengang sorgfältig verfolgt. Ein Beispiel für Letztere ist der Große Fermatsche Satz, der besagt, dass für n>2 die Summe von zwei positiven n-ten Potenzen keine n-te Potenz sein kann. Der Satz wurde von Fermat im siebzehnten Jahrhundert formuliert, aber erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen. Natürlich war die endlich doch gefundene Lösung eine kollektive Leistung. Den Beweis kann Hesse freilich nur skizzieren.

          Fermats Erbe

          Was er aber vollständig vorführt, ist ein Beweis für den Spezialfall n=4, der von Fermat stammt. Hier kommt wieder eines von den vorgestellten Denkwerkzeugen zur Anwendung, diesmal das „Prinzip Unendlicher Abstieg“. Wir wollen zeigen, es gibt etwas nicht, in diesem Fall ein Tripel von positiven ganzen Zahlen (x,y,z) mit x4 +y4=z4. Dazu machen wir einen Widerspruchsbeweis – Werkzeug Nr. 6, das „Gegenteilsprinzip“ – und nehmen an, das gibt es doch. Mit einer trickreichen Konstruktion finden wir dann ein neues Tripel (X,Y,Z) mit X4 + Y4 =Z4 und Z<z. Das ist der Abstieg. Wir sind sozusagen auf einer Treppe eine oder mehrere Stufen nach unten gegangen. Wenn wir diesen Prozess wiederholen, kommen wir irgendwann am Fuß der Treppe an, und da tritt der Widerspruch auf. Der Abstieg ist endlich und unendlich zugleich. Das haut nicht hin.

          Das allerletzte Werkzeug, wenn gar nichts anderes zu helfen scheint, ist das „Brute-Force-Prinzip“. Man probiert alle Möglichkeiten aus, wenn das denn geht und die Zeit dafür reicht. Auch ein perfekter Code beispielsweise lässt sich so prinzipiell immer knacken. Immerhin kann man mit viel Glück das Brute-Force-Prinzip vielleicht auf ein kleineres Teilproblem beschränken. So hat Alan Turing im Zweiten Weltkrieg die deutschen Verschlüsselungsmaschine „Enigma“ geknackt.

          Viele Geschichten

          Hesses Buch ist eine Sammlung von schönen mathematischen Geschichten, so wie sie vor Zeiten Martin Gardner in seiner Kolumne im „Scientific American“ erzählt hat. Nur sind diese Geschichten hier halbwegs systematisch nach den Lösungsmethoden geordnet. Das Faszinierende an der Mathematik ist freilich gerade, dass man vorher nicht weiß, welche Probleme leicht sind und welche sich als schwierig zu lösen herausstellen.

          Der Autor versteht mitreißend zu schreiben. Man spürt, dass er das Material über Jahre liebevoll gesammelt hat. Sein Sinn für Komik ist gut entwickelt. Zum Beispiel erläutert er das sechste Werkzeug, das Gegenteilsprinzip, mit einem Zitat von Donald Rumsfeld: „Wie wir wissen, gibt es Dinge, die wir wissen. Wir wissen auch, dass es Unbekanntes gibt, von dem wir wissen, dass es unbekannt ist. Wir wissen, dass es Dinge gibt, die wir nicht wissen. Aber es gibt auch Dinge, von denen wir nicht wissen, dass wir sie nicht wissen.“

          Abschweifungen dürfen sein

          Hesse hat das ganze Buch mit solchen Kostbarkeiten gespickt. Manchmal schweift er auch etwas von seinem Thema ab, aber das kann man über den „Tristram Shandy“ von Laurence Sterne auch sagen. Zum Beispiel ist das achtzehnte Werkzeug das „Färbungsprinzip“. Das Färben meint nur die Zerlegung einer Menge in unterschiedliche Typen von Elementen. Die Farben sind hier willkürlich gewählte Etiketten. Trotzdem berichtet uns Hesse erst einmal lange darüber, wie die Bantus in Kamerun die Farben des Regenbogens sehen.

          Die Mischung des Bandes enthält alles, von absurden Spielereien bis hin zu profunden Einsichten. Vielleicht kommt ja irgendwann noch ein zweiter Band, der uns auch noch über die Verteilung der Primzahlen, die Quadratur des Kreises oder den Fundamentalsatz der Algebra informiert. Und zum Abschluss noch eine kleine Aufgabe: Haben Frauen mehr Brüder als Männer? Aber Vorsicht, da lauert eine Denkfalle.

          Weitere Themen

          Topmeldungen

          Amerika gegen China : Ein Clash der Systeme

          Beim Apec-Gipfel auf Papua-Neuguinea machen sich Amerika und China heftige Vorwürfe – und präsentieren ihre konkurrierenden Entwürfe für eine Weltordnung. Beide Länder stehen jedoch vor dem gleichen Problem.

          Newsletter

          Immer auf dem Laufenden Sie haben Post! Abonnieren Sie unsere FAZ.NET-Newsletter und wir liefern die wichtigsten Nachrichten direkt in Ihre Mailbox. Es ist ein Fehler aufgetreten. Bitte versuchen Sie es erneut.
          Vielen Dank für Ihr Interesse an den F.A.Z.-Newslettern. Sie erhalten in wenigen Minuten eine E-Mail, um Ihre Newsletterbestellung zu bestätigen.